Evolution de la concentration de neutrons dans un réacteur nucléaire

Bonsoir,
Un de nos joyeux membres a émis l'idée de faire son TIPE autour du thème du nucléaire. Voici donc un petit exo de physique qui pourrait l'intéresser...

Vous savez que la réaction de fission dépend essentiellement du taux de neutrons disponibles pour réagir. Le pilotage d'un réacteur consiste à maintenir à un niveau donné cette concentration.

Je vous propose d'en faire un modèle d'évolution assez... primaire, mais suffisamment explicite. Cet exercice n'utilise que la connaissance du cours sur la diffusion. Voilà l'exo:

On modélise le réacteur par un cylindre fermé de rayon R et de hauteur h. J'appelle n(r,t) la concentration de neutrons libres, r variant entre 0 et R.

Dans notre modèle, on suppose que n(r,t) dépend de trois phénomènes:
- la diffusion des neutrons, avec une diffusivité D (c'est original...)
- la création de neutrons, avec un taux de création S0, uniforme dans le réacteur et nul à l'extérieur.
- l'absorption des neutrons, avec un taux Kn(r,t).

D'abord, il faut établir l'équation d'évolution de cette concentration n(r,t) !

Puis donner l'expression de n(r,t) en régime stationnaire avec une absorption nulle, en supposant que la variation de dn/dr pour r=0 est nulle. Et calculer le flux total de neutrons sortant du réacteur.

On arrête le réacteur: il n'y a plus de création de neutrons. On va étudier n1(r,t) avec la diffusion seule et la solution n2(r,t) avec diffusion et absorption. Démontrer que n2(r,t) = n1(r,t)*exp(-K*t)

Qu'en déduisez-vous sur le pilotage d'un réacteur?
Pourriez-vous faire un petite programme C ou TI qui modèlise ce comportement?

Amusez-vous bien !

PS : ce n'est pas très compliqué, n'allez pas chercher midi à 14:00 !

dream treator a écrit:

Hé hé, c'est moi le joyeux membre?

Ca c'est cool de proposer un exercice sur la fusion!

Alors alors....perso, je n'ai pas fait la diffusion. Je suppose qu'il y a là une analogie avec la température, c'est-à-dire une diffusion qui suis une loi exponentielle?

Si on parle de taux de création et de taux d'absorbtion, est-ce que cela signifie que par unité de temps, il y a un certain pourcentage de création/d'absorbtion? Si oui, on a trois lois exponentielles...l'équation d'évolution en découlerait assez naturellement je pense.

Mouais...je vais peut-être d'abord faire une petite recherche sur le sujet, ça évitera les conjectures doctement floues.

Bonsoir,
Aïe... ça commence fort ... Il ne s'agit pas de fusion mais de fission! Dans la réaction de fusion, les neutrons n'ont pas beaucoup d'importance!
Il y a bien une loi exponentielle, mais on fait presque tout l'exo en restant avec les équations différentielles, alors...
Et oui, tu as raison:par unité de temps, il y a des neutrons créés (par fission d'atomes) et des neutrons absorbés (par les barres de contrôles et par la réaction de fission). Le principe est de trouver le bon équilibre entre les neutrons créés, les neutrons abosrbés par les barres de contrôle et les neutrons disponibles pour démarrer une fission.

Bonsoir,
Je vois que ça n'avance pas beaucoup...
Commençons donc par le terme de diffusion.
Pour traiter le problème, j'ai besoin de connaître l'équation bilan qui établit l'évolution de la densité de neutrons, connaissant le vecteur jn de densité de particules.

Je pars donc de cette équation:
div j +dn/dt = 0 (il s'agit d'une dérivée partielle, mais je n'ai pas de d rond!) ou encore dn/dt = -div j.

Et j'utilise la loi de Fick (voir wiki ou le cours de math spe..), que me dit que j = -D*grad n.
Pour exprimer la densité de neutrons, j'écris: div j +dn/dt = 0 = div (-D*grad n) + dn/dt

Vous savez tous (bien sur..) que l'opérateur div(grad) est le laplacien noté delta. Et donc, j'obtiens la superbe équation dite "équation pilote de la diffusion" -D*div(grad n) + dn/dt = 0 ou dn/dt = D*div(grad n), ou bien sous format condensé dn/dt = D*delta(n).

Après ce bref développement, nous pouvons établir l'équation d'évolution de la densité de neutrons libres:

dn/dt = D*delta(n) + S0 - K*n (toujours des d ronds...)
où l'on reconnait tous les termes : la diffusion des neutrons, la création de neutrons et l'absorption des neutrons.

Vous me suivez jusque là?

Gloups: loi de Fick, laplacien...

A quoi sert cette loi? Quelles grandeurs met-elle en relation?

Qu'est ce que le laplacien?

Booouuuhhh il y a plein de symbole horribles dans l'article de wikipedia!!!

dream treator a écrit:Gloups: loi de Fick, laplacien...

A quoi sert cette loi? Quelles grandeurs met-elle en relation?

Qu'est ce que le laplacien?

Booouuuhhh il y a plein de symbole horribles dans l'article de wikipedia!!!

La loi de Fick : c'est une loio phénoménologique. elle rend compte de faits observationnels, sans être universelle.
Elle est basée sur deux obervations de la diffusion des particules:
1 - le phénomène de diffusion s'annule lorsque la densité particulaire est homogène. Ce qui s'exprime par le fait que j doit s'annuler quand grad n = 0

2 - le transport par diffusion transporte les particules des zones riches vers le zones pauvres, donc j doit être orienté vers les concentrations décroissantes de n. Ce qui s'exprime mathématiquement en disant que le sens de j est opposé à grad n.

Ce sont des observations qu'on a traduit mathématiquement.
Si on rassemble ces deux observations, en reliant la cause (grad n) et l'effet (le vecteur j), on obtient la loi de Fick : j = -D*grad n , où D est un coefficient (la diffusivité) mesuré, qui doit être positif d'après l'observation 2.

Voilà un exemple de la manière dont les physiciens construisent une loi d'après l'expérience.

Le laplacien:
c'est un opérateur vectoril, destiné à simplifier les écritures. Par définition, le laplacien est opérateur de 2eme ordre qui opère sur un champ de scalaires et qui est défini par div(grad)
En coordonnées cartésiennes, delta(g) = d²g/dx² + d²g/dy² + d²g/dz², avec des d ronds partout bien sur.

OK pour la loi de Fick et le laplacien.
gradian: opérateur de premier ordre
laplacien: opérateur de deuxième ordre

"la création de neutrons, avec un taux de création S0, uniforme dans le réacteur et nul à l'extérieur": t: taux: t(x+dt)=S0*t(x)
Je dirais t(x)=S0^x.

"l'absorption des neutrons, avec un taux Kn(r,t)". Alors là, je crois c'est pas bon, mais j'essaye quand même avec une intégrale double.
A: absorbtion, int: integrale: A=int(r:0->R, int(t:0->t, Kn))=Kn*R*t.

Et n(t)=(création-absorbtion)*diffusion?

Mmm...c'est bien louche tout ça!

dream treator a écrit:"la création de neutrons, avec un taux de création S0, uniforme dans le réacteur et nul à l'extérieur": t: taux: t(x+dt)=S0*t(x)
Je dirais t(x)=S0^x.

"l'absorption des neutrons, avec un taux Kn(r,t)". Alors là, je crois c'est pas bon, mais j'essaye quand même avec une intégrale double.
A: absorbtion, int: integrale: A=int(r:0->R, int(t:0->t, Kn))=Kn*R*t.

Et n(t)=(création-absorbtion)*diffusion?

Mmm...c'est bien louche tout ça!

Bonsoir,
Pour le moment, il faut établir la loi d'évolution, qui est une équation différentielle: ne soit pas pressé d'intégrer...
Cette loi est simple, je l'ai donné dans un message hier:
dn/dt = D*delta(n) + S0 - K*n (toujours des d ronds...)

La variation de la densité de particules est la somme des différents termes qui interviennent. Pour un volume élementaire de réacteur, la densité varie en fonction de la diffusion (le terme D*delta(n) - elle augmente. Elle augmente aussi du taux de création S0 et elle diminue en fonction du taux d'absorption (le terme -K*n)
Tu additionne tout ça et tu as ton équation..

Oui mais ça c'est pas une équadiff: on a un delta n qui se ballade tout seul, sans dt. Ca a un sens d'écrire ça?

dream treator a écrit:Oui mais ça c'est pas une équadiff: on a un delta n qui se ballade tout seul, sans dt. Ca a un sens d'écrire ça?

Heu... le delta en question est un laplacien comme je l'ai indiqué dans un message précédent.... En l'occurence un opérateur spatial..

Bonsoir,

Avançons un peu dans ce petit exo! Nous avaons donc l'équation d'évolution de la concentration de neutrons suivant:

dn/dt = D*delta(n) + S0 - K*n (avec des d ronds...) où l'on reconnait tous les termes : la diffusion des neutrons, la création de neutrons et l'absorption des neutrons.

On nous demande l'équation en régime stationnaire, lorsque le terme d'absorption est nul.
En stationnaire dn/dt = 0 , etona supposé que K = 0. Notre équation devient donc D*delta(n) + S0 = 0 et donc D*delta(n) = -S0.
En coordonnées cylindriques, le laplacien delta(n) = (1/r)*d/dr(r*dn/dt) (avec des dronds toujours...)

Donc notre équation devient delta(n) = -S0/D, soit (1/r)*d/dr(r*dn/dt) = -S0/D.

Je vous laisse développer, en se souvenant qu'on a posé que r(dn/dr) = 0 pour r=0

Ah OK, j'essaye de comprendre le coup du laplacien en coordonnées cylindriques à partir du gradian en coordonnées cylindriques.
On a delta(n)=constante. Quand on dérive, ça fait un truc égal à 0.

(1/r)*( (dr/dt)(dn/dt) + r(d²n/dt²) )=0.

Et maintenant, je crois que ça y est, on peut intégrer?

Le fait que r(dn/dr) = 0 pour r=0 nous donne la constante quand on va intégrer?

Euh non, dériver pour intégrer ensuite, c'est débile.
Sauf si on intègre par rapport à r cette fois, et non plus par rapport à n, c'est bien celà? Et là, on a n(t)!

Ouai, jamais j'aurais trouvé, déjà j'ai découvert le laplacien, la loi de Fick, comment on dérivait avec les coordonnées cylindriques!

dream treator a écrit:Ah OK, j'essaye de comprendre le coup du laplacien en coordonnées cylindriques à partir du gradian en coordonnées cylindriques.
On a delta(n)=constante. Quand on dérive, ça fait un truc égal à 0.

(1/r)*( (dr/dt)(dn/dt) r(d²n/dt²) )=0.

Et maintenant, je crois que ça y est, on peut intégrer?

Le fait que r(dn/dr) = 0 pour r=0 nous donne la constante quand on va intégrer?

Euh non, dériver pour intégrer ensuite, c'est débile.
Sauf si on intègre par rapport à r cette fois, et non plus par rapport à n, c'est bien celà? Et là, on a n(t)!

Ouai, jamais j'aurais trouvé, déjà j'ai découvert le laplacien, la loi de Fick, comment on dérivait avec les coordonnées cylindriques!

Reprenons notre belle équation : (1/r)*d/dr(r*dn/dt) = -S0/D. On peut l'écrire aussi:
d/dr(r*dn/dt) = -r*S0/D ce qui se laisse intégrer joyeusement en r*dn/dr - r(dn/dr)r=0 = -r²*S0/2D

Or par hypothèse r(dn/dr)r=0 est nul, donc j'obtiens finalement l'équation différentielle dn/dr = -(S0/2D)*r

Et là tu peux enfin intégrer !! facile non! Cela donne bien sur n(r) = n0 - (S0/4D)*r²

De cette belle équation, je tire le courant de neutrons : j = D*nabla(n) soit j = (D*S0/2D)*r*er

Au fait, l'opérateur vectoriel nabla, ça te parle au moins? ça devrait en principe...

Et maintenant, tu calcules le flux classiquement par l'intégrale de surface sur j.dS, d'où le résultat Phi = PI*R²*h*S0

Ouf, voilà notre flux de neutrons sur la surface du cylindre "réacteur". Tu noteras que le flux de neutrons est simplement égal au volume du réacteur multiplié par le taux de création des neutrons : marrant non!

Et dernière remarque : cet exo est du niveau de spé, mais sur le plan de l'outilage mathématique, opérateurs vectoriels et dérivées partielles, tu devrai tout avoir en fin de sup.

OK...bon, j'imprime ça et j'essaye de le refaire clean (j'ai pas réussi à faire grand chose quand même!!)
Effectivement, ça va sans doute être utile pour mon TIPE, et puis c'est une bonne intro pour la manipulation de tous ces outils vectoriels.
Quand à la dernière question, je devrais m'en tirer seul.
Bonne soirée et merci de ta patience!

dream treator a écrit:OK...bon, j'imprime ça et j'essaye de le refaire clean (j'ai pas réussi à faire grand chose quand même!!)
Effectivement, ça va sans doute être utile pour mon TIPE, et puis c'est une bonne intro pour la manipulation de tous ces outils vectoriels.
Quand à la dernière question, je devrais m'en tirer seul.
Bonne soirée et merci de ta patience!

You're welcome !