La décomposition de la lumière blanche par un prisme

Bonjour,
Vous connaissez tous la manip de lycée, qui consiste à décomposer la lumière blanche par un prime pour former un "arc-en-ciel", en d'autres pour établir son spectre. Mais savez-vous expliquer précisément cette décomposition spectrale?
C'est une question qui semble préoccuper certains de nos membres :-) Et la réponse précise n'est pas aussi triviale qu'il y parait....

Bonsoir,

Je ne sais pas ce que tu attends exactement comme réponse. A mon niveau, cette décomposition est due au phénomène de dispersion : toutes les fréquences ne se déplacent pas à la même vitesse dans un milieu transparent. Et le principe de Fermat qui stipule que la lumière emprunte toujours le chemin le plus rapide pour aller d'un point à un autre explique la réfraction : selon la vitesse, l'angle de réfraction est différent, d'où la décomposition de la lumière.

Après, si tu demandes qu'est-ce qui fait, à une échelle plus particulaire si j'ose dire, que le principe de Fermat existe et que la vitesse d'une onde lumineuse est fonction de sa fréquence dans un milieu transparent, je crains de n'avoir la réponse.

je pensais qu'il serait utile de définir ce qu'est la vitesse de propagation d'une onde. Puis d'introduire la définition de n, l'indice de réfraction, en relation avec c et ledite vitesse de propagation.
On peut aussi aborde rle problème sous l'angle du principe de moindre action, mais c'est plus compliqué....

Je connais la réponse, est-ce que tu attends que je la donne ?

mais oui, pourquoi pas!

Commençons donc par le commencement.
L'une des caractéristiques essentielle de la propagation des ondes est le couplage spatio-temporel. Une onde se propage de proche en proche. Pour une onde électromagnétique (comme la lumière), c'est une modification locale du champ électrique E qui entraine une variation du champ magnétique B, qui à son tour va entrainer une modification de E et ainsi de suite... Les solutions harmoniques d'une grandeur vibratoire qui se propage sont de la forme : s(r,t)=A.cos(wt-k.r+phi). s(r,t) est la grandeur vibratoire à l'instant t au point M tel que OM=r. Si on se place dans le cas 1D pour y voir un peu plus clair, on a alors s(x,t)=A.cos(wt-k.x+phi).

On voit bien le couplage spatio-temporel. L'onde comporte deux périodes :
- une période temporelle T (appelée période tout court), connu depuis le collège (T=1/f=2PI/w) : à l'instant t+T, la grandeur vibratoire présentent la même amplitude en tout point de l'espace qu'à l'instant T
- une période spatiale lambda (appelée longueur d'onde), lambda=2PI/k : à tout instant, la grandeur vibratoire à l'abscisse x+lambda est la même qu'à l'abscisse x

Qu'est-ce alors que la vitesse de propagation d'une onde. wt-k.x+phi=w(t+dT)-k.(x+dx)+phi à la condition que dx=w/k*dt. Dans ce cas, on a s(x,t)=s(x+dx,t+dt) : la grandeur vibratoire apparait en x+dx à l'instant t+dt exactement comme elle était en x à l'instant t. La grandeur vibratoire s'est propagée identique à elle-même sur la distance dx=w/k*dt. L'onde a parcouru la distance dx pendant dt, elle a une vitesse vphi=dx/dt=w/k : c'est la célérité de l'onde, encore appelée vitesse de phase.

Or, il se trouve que suivant les situations/conditions, k ne dépend pas de w de façon linéaire : le milieu de propagation est dispersif.

Si le milieu est non dispersif, il existe c=cte tel que w=c*k pour tout w. Pour tout w, on a donc w/k=c=la cérélité de l'onde (par définition) qui est une constante pour toutes les fréquences.

Si maintenant le milieu est dispersif, il n'y a pas de relation linéaire entre w et k. On va par exemple avoir w=c*w²/(w0²+w²)*k avec c la célérité de l'onde dans le vide. La célérité de l'onde devient vphi=w/k=c*w²/(w0²+w²)

On voit bien ici que le terme w²/(w0²+w²) varie avec la fréquence : plus w est grand, plus se terme temps vers 1 et plus vphi devient constant en fonction de la fréquence et se rapproche de c. Sinon, plus w est petit, plus la célérité de l'onde diminue. Une onde basse fréquence se propagerait bien moins vite qu'une onde haute fréquence.

Considérons maintenant une onde EM (comme la lumière) qui se propage dans un diélectrique supposé transparent (il n'y a pas de phénomène d'absorption). On considère qu'il est linéaire (relations linéaires entre les champs E et B), homogène (même caractéristique en tout point) et isotropes (même caractéristique pour toutes les directions de propagation). On caractérise le diélectrique par son indice n (qui correspond en fait à l'indice de réfraction en optique) tel que n=c/vphi. On l'a vu, c est la célérité des ondes dans le vide, et vphi la vitesse de phase dans le diélectrique.

Si on a n=n(w) alors vphi=c/n=c/n(w) n'est pas indépendant de w ==> le milieu est dispersif, toutes les fréquences ne se dépacent pas à la même vitesse. C'est le cas dans un prisme, ce qui entrainent la décomposition de la lumière blanche.

On arrive au bout du raisonnement. On peut montrer qu'à l'interface entre deux diélectriques, la lumière obéit à la loi de descartes : n1sin(i1)=n2sin(i2). La lumière prendra toujours le chemin le plus rapide pour aller d'un point à un autre. Si vous voulez vous amuser à démontrer cette loi, faites l'exo suivant : une plage au bord de la mer. Vous êtes sur la plage à une position donnée et vous voulez aller à un endroit précis dans la mer. Vous vous déplacer à la vitesse vs sur le sable et la vitesse vm dans la mer avec vm"<"vs. A quel endroit vous devez rentrer dans la mer pour minimiser le temps de parcours ? Si on note is l'angle entre la trajectoire rectiligne sur le sable et la normale à l'interface plage/mer et im l'angle entre la trajectoire rectiligne dans la mer et la normale à l'interface plage/mer, vous devriez trouver que c'est à l'endroit tel que vm*sin(is)=vs*sin(im).

Quand la lumière rentre dans le prisme sous l'incidence i1, i2=asin(sin(i1)/n). sin(i1) est constant. Si n est constant (milieu non dispersif), i2 sera constant, la lumière restera blanche. Si on a notre n=n(w), i2=i2(w) et donc les différentes fréquences seront déviées différement et comme chaque fréquence correpond à une couleur, on verra les couleurs apparaitres avec différent angle. C'est la même chose qu'il se passe pour un arc-en-ciel.

Ben merci benjamin

Wouah, tu as 11 mois de retard mon ami ^^
Mais avec plaisir

Vaut mieux tard que jamais

Sinn j'ai une autre question et ça concerne le ciel cette fois ... d'où tire t-il ses couleurs ( bleue le jour, rouge lors du couché du soleil et noir le soir ) ??

Salut,

Désolé, je vais faire le mauvais élève mais la page Wikipedia l'explique très bien.

Coucou tout le monde,

Juste pour le fun, une question m'est venue. Est-ce qu'il y a une explication, un raisonnement, une image de l'effet prisme du point de vue du photon, la lumière comme particule ?

midel

En d'autres termes, quelle est l'explication d'un milieu dispersif en mécanique quantique....

BenJ a écrit:Salut,

Désolé, je vais faire le mauvais élève mais la page Wikipedia l'explique très bien.

Salut Benjamin,

Tu as raison! Wiki suffit en première approche pour la couleur bleue du ciel et le rayonnement rouge du soleil à son coucher (le ciel n'est pas rouge!).
Toutefois, cette page ne répond pas à la question concernant le noir de la nuit (sans Lune...)... Peut être en cherchant "paradoxe d'Olbers" sur Wiki ou ailleurs... j'ai la flemme d'expliquer :-)

Un modèle simple qui explique ce phénomène est le modèle de l'électron elastiquement lié ... En gros l'onde électromagnétique provenant du soleil excite les électrons se trouvant dans le ciel. Ces derniers rayonnent. La puissance rayonnée varie en w^4 ainsi l'onde lumineuse émise est 16 fois plus intense en violet ( donc en le bleu ) qu'en rouge le jour ... Au couché elle est atténuée en violet vu l'épaisseur de la couche de ciel : d'où le caractère rouge du ciel... La nuit je pense que le rayonnement n'est pas assez intense :p

La raison pour laquelle le ciel est noir la nuit n'a pas grans chose à voir avec l'excitation des atomes de la haute atmosphère par la lumière du Soleil, parce que la nuit, la Soleil n'éclaire pas l'atmosphère... mais pourquoi donc le ciel est-il noir?
Autre chose, es-tu sur d'avoir bien compris le modèle dont tu parles? Les électrons libres dans l'atmosphère sont assez rares!

Bonjour Dominique,
Ben je sais pas trop j'avoue ... éclaires nous alors stp

A propos du ciel noir, voir le paradoxe d'Olbers. ce dernier remarqua que puisque le nombre des étoiles est immense (voire infini..) le ciel devrait être éclairé la nuit par toutes ces étoiles et ne pas être noir. Pourquoi n'en est-il pas ainsi?

Si je me souviens bien c'est à cause de l'expansion de l'univers ... Je médite là-dessus :p

raito123 a écrit:Si je me souviens bien c'est à cause de l'expansion de l'univers ... Je médite là-dessus :p

Commence par méditer sur les conséquences de la vitesse limite de la lumière :-)

Pour en revenir à la couleur du ciel quand il fait jour, une chose que j'ai découverte un peu par hasard avec beaucoup d'intérêt mais que tous les photographes savent : le bleu du ciel est polarisé ! L'explication se retrouve aussi assez facilement sur le web, mais je trouve ça assez magique

midel

Dans le même ordre d'idée, pourquoi le ciel n'apparait-il pas bleu seulement en direction du Soleil en noir ailleurs, mais bleu sur tout l'horizon?

midel a écrit:Pour en revenir à la couleur du ciel quand il fait jour, une chose que j'ai découverte un peu par hasard avec beaucoup d'intérêt mais que tous les photographes savent : le bleu du ciel est polarisé ! L'explication se retrouve aussi assez facilement sur le web, mais je trouve ça assez magique

midel

Bonsoir,
La lumière solaire, n'étant pas monochromatique, n'est pas polarisée. Par contre, la lumière solaire diffusée par l'atmosphère est elle polarisée. Pour découvrir pourquoi, petit exercice : 1/ écrire l'amplitude d'un champ monochromatique en écriture complexe, en déduire qu'une lumière monochromatique est toujours polarisée. 2/ même exercice pour une lumière polychromatique. 3/ écrire l'amplitude d'un champ émis par un oscillateur (celui du modèle de notre ami raito) toujours en écriture complexe et en déduire que sa lumière est polarisée.
exercice classique de MP et PC...

domi a écrit:
Commence par méditer sur les conséquences de la vitesse limite de la lumière :-)

ça concerne la méca quantique ?

Pas besoin de méca quantique je crois, uniquement de savoir que la lumière qui vient jusqu'à nous ne peut pas venir de plus loin que la distance qu'elle a pu parcourir depuis la naissance de l'univers (et puis la lumière ne se propage pas non plus en ligne droite tranquillement jusqu'à nous, il y a les lentilles gravitationnelles, les astres qui barrent le chemin, les trous noirs, etc.... la diffusion sur les quelques atomes par mètre cube du vide interstellaire ?) Mais c'est peut-être plus compliquée que ça...

La lumière solaire, n'étant pas monochromatique, n'est pas polarisée.

ça c'est un raccourci un peu rapide Si je mets un polariseur devant une ampoule, la lumière est toujours bien blanche (absolument pas monochromatique) mais bien polarisée

Et pour l'explication de la polarisation du bleu de ciel, je préfère me passer des équations et plutôt imaginer dans quelle orientation doivent être les molécules de diazote (par rapport au soleil et à nous) pour qu'elles diffusent efficacement la lumière du soleil vers nous. Ca implique alors un rayonnement avec une polarisation privilégiée.

midel

midel a écrit:

La lumière solaire, n'étant pas monochromatique, n'est pas polarisée.

ça c'est un raccourci un peu rapide Si je mets un polariseur devant une ampoule, la lumière est toujours bien blanche (absolument pas monochromatique) mais bien polarisée

Bonjour,
Je me référais bien sur à la lumière solaire telle qu'elle nous parvient naturellement..

Et pour l'explication de la polarisation du bleu de ciel, je préfère me passer des équations et plutôt imaginer dans quelle orientation doivent être les molécules de diazote (par rapport au soleil et à nous) pour qu'elles diffusent efficacement la lumière du soleil vers nous. Ca implique alors un rayonnement avec une polarisation privilégiée.

Certes! L'exercice que je propose, outre qu'il est très classique dans les pb d'EM, a l'avantage d'apprendre la manipulation des champs et ondes et de donner une compréhension des mécanismes en jeu, à condition bien sur de ne pas s'en tenir à son aspect mathématique mais à s'intéresser aussi à sa signification physique...