décroissance radioactive - compteur Geiger

Bonsoir à toutes et à tous !
J'ai aujourd'hui rencontré dans mon bac blanc de physique une petite question qui m'a laissé perplexe. J'ai pu y répondre mais sans justifier vraiment, sauf en expliquant les opérations faites et leur "logique" (hum), mais je doute...
Voici l'énoncé :

Question - "les particules émises lors de la désintégration du bismuth 210 contenu dans l'échantillon sont détectés par un compteur de Geiger-Müller.
Lors d'un comptage réalisé à l'instant t, le nombre C(t) de coups mesurés est en moyenne proportionnel à l'activité A(t) : C(t)=kA(t)

(a) donner l'expression de la constante k en fonction de la distance d entre la source et l'entrée du compteur, de l'aire S de l'ouverture du compteur, de la durée Dt d'un comptage et de l'efficacité e du detecteur (proportion de particules entrant dans le compteur qui sont détectés).
On pourra s'aider du schéma de l'annexe 4 représentant la situation expérimentale. On rappelle que l'aire d'une sphère de rayon r vaut 4pir²"

J'ai d'abord commencé en tâtonnant mais comme je ne savais pas quoi faire, j'ai effectué une petite analyse dimensionnelle : C est un nombre or A est l'activité physique de cette source radioactive, d'où [A]=T^{-1}
Ainsi, k est forcément un temps.

Ensuite, mon cerveau a pris un peu de recul et j'ai essayé de m'imaginer la situation : nous disposons d'une sorte de sphère avec un échantillon radioactif de Bismuth placé en son centre à une distance d (rayon) du compteur. Le compteur a une surface S donnée qui se confond avec une partie de la sphère. La probabilité qu'une particule vienne la "toucher" est ainsi de S/(4pid²).
Ensuite, plus l'expérience dure, c'est-à-dire plus Dt est grand, plus la chance qu'une particule vienne toucher la paroi du compteur est grande. J'ai donc multiplié S/(4pid²) par Dt. Enfin, e est la probabilité que le comptage soit juste (la proportion de particules comptées par la machine sur un nombre donné qui vient réellement toucher la paroi du compteur), je l'ai donc par la même occasion multiplié au reste. Cela me donne enfin (S*Dt*e)/(4pid²).
J'ai refait une analyse dimensionnelle et cette formule a bel et bien la dimension d'un temps : oh mirâââcle !

Mais bon, plus je regarde la façon dont j'ai abordé l'exercice, plus c'est flou et la "démonstration" tient sur une roue donc je viens ici vous demander comment vous auriez effectué les calculs, et surtout pour confirmer la justesse de ma formule. Parce que comme dirait ma prof de maths, c'est comme cela que l'on va trouver la réponse par les narines... voilà.

Un seul de mes camarades a trouvé comme moi et il y est aussi allé au flair. Un autre a divisé par Dt au lieu de multiplier par Dt. La plupart des autres n'ont pas fait la question.
Ai-je juste ?


Le schéma en question n'est qu'un cercle avec un carré au milieu représentant l'échantillon, et un segment de longueur d sépare le compteur de ce même échantillon. Le compteur a une de ses extrémités sur le rebord de la sphère (que nous voyons ici en 2D) et c'est tout.
Cette question est vraiment intéressante, assez intuitive aussi. Comment devrait-on faire ?
Merci d'avance =)

Bonjour,
Je viens de lire rpaidement ta réponse au problème posé...
Je suis d'accord avec toi sur la dimension de l'activité radioactive qui est bien T^-1. Mais dis moi, quelle est la dimension de C(t) ? Et qu'en déduis-tu de la dimension de k?

Si nous essayons de reformuler la question!

Nous avons donc une source isotrope, c'est à dire qui émet dans toutes les directions de l'espace de façon équiprobable. Cela signifie entre autre qu'un élément de surface dS de la sphère de rayon r est traversé par un nombre n de particules quelque soit sa position sur la sphère. Evidement, la surface totale de la sphère est traversée par la totalité des particules.

Notre capteur lui présente une ouverture S, qui intercepte une fraction de la surface de la sphère. A travers cette fraction de surface, une fraction seulement de particules traverse. C'est la fraction comptée, celle mesurée par C(t), alors que le nombre total de particules est mesuré par A(t).

Qu'en déduis-tu?

Salut Domi,

k est homogène à un temps puisque C n'a pas de dimension.

Ok pour la source isotrope : chaque particule a la même chance de venir toucher n'importe quel endroit de la sphère, donc on définit S/(4pid²) la probabilité qu'une particule vienne frapper le compteur plutôt qu'un autre endroit de la sphère.

A travers cette fraction de surface, une fraction seulement de particules traverse. C'est la fraction comptée, celle mesurée par C(t), alors que le nombre total de particules est mesuré par A(t).

Ce qui veut dire qu'il existe une constante e (l'efficacité du compteur) liant C(t) et A(t) par proportionnalité. Comme C est le nombre de particules comptées par la machine, et A le vrai nombre (A > C) de particules ayant touché le compteur, on multiplie A par e pour avoir C.

Pour ce qui concerne Dt, je me suis dit naturellement que si l'on exposait l'échantillon plus longtemps, il serait logique que que le nombre de particules comptées soit plus grand, donc il ne faut pas diviser par Dt mais multiplier par Dt.

Ah bon !!! tu écris c(t), un nombre de détections par unité de temps et tu affirmes que cette variable est sans dimension !! Bigre...

Ce problème est très simple et tu vas chercher midi à quatorze heures. Il s'agit de calculer la fraction de particules interceptées par le compteur par unité de temps.
Il me semble évident que l'émission étant isotrope, cette fraction dépend du rapport entre l'ouverture du compteur et la surface de la sphère prise à une distance r de la source. Imagine que le compteur couvre toute la surface de la sphère. En le supposant parfait (ton énoncé ne parle pas d'efficacité du comptage, c'est vraiment hors de ton programme!), le compteur compterait toutes les particules et c(t) = a(t)..

aïe...
A a la dimension de l'inverse d'un temps, C(t) est un nombre en fonction d'un temps (et non pas un nombre par unité de temps) donc C(t) n'a pas de dimension, si ?

l'activité est un nombre de désintégrations par unité de temps, de dimension T^-1.
c(t) est le nombre de détection de particules par unité de temps, de même dimension... C'est un principe des compteurs, qui sont des intégrateurs: on mesure une grandeur que l'on cumule par unité de temps.

En règle générale, tu ne peux dire qu'une variable fonction du temps est sans dimension! La dimension T est toujours présente dans une variable qui dépend du temps...

ah ok, merci. Donc k est une constante...
Une petite question, k serait-elle lambda la constante radioactive ? Ca ne devrait pas en être le cas puisque lambda est homogène à l'inverse d'un temps.

Ah, et si k valait tau ? Ca correspondrait bien !

Ah non, je retire --'
Je m'embrouille complètement en effet

dis moi en quoi la constante radioactive dépendrait elle de l'usage d'un compteur Geiger!!
k ici est une constante propre au compteur et à son utilisation (la distance r entre le compteur et la source). Rien à voir avec les caractéristiques de la source

k est une constante sans dimension, car c'est un rapport entre deux surfaces..

Bon eh bien sinon il y a rien à dire de plus ^^ je me suis lamentablement trompé en disant que k avait la dimension d'un temps, et en plus j'avais revérifié à la fin et ça avait bien la dimension d'un temps... Quand on multiplie par Delta d, cela donne bien un temps au final, non ?

Petite mise au point d'écriture... Dans ton premier message, tu appelles Dt la durée de l'expérience. Pourquoi pas. Mais je m'aperçois dans ton dernier message que le Dt désigne en fait un delta t, ce que je supputais un peu, mais je te laissais le bénéfice du doute :-)

Ce qu'on appelle delta t, noté dt et pas Dt, c'est une différentielle, plus exactement la différentielle de t. Il s'agit d'une variable qui désigne un nombre aussi petit que possible, que l'on retrouve dans l'expression de la dérivée, comme par exemple dN/dt, qui représente la variation du nombre de noyaux au cours d'un intervalle de temps aussi petit que possible.

Il est très inapproprié d'appeler Dt (ou dt) la durée d'une expérience, sachant que l'on obtient cette durée par intégration de dt.

Pour en revenir à ton problème, pourquoi donc voudrais-tu que k, qui est une constante, dépende du temps, ce qui se serait le cas si tu multipliais ton résultat par un temps?

Enfin, tu écris : "plus l'expérience dure, c'est-à-dire plus Dt est grand, plus la chance qu'une particule vienne toucher la paroi du compteur est grande.".
En fait, à un instant donné, la probabilité qu'une particule frappe la sphère à un endroit est identique à la probabilité qu'elle la frappe à un autre endroit. C'est la définition d'une émission isotrope. Si tu intègres sur une durée, quelque soit sa valeur, cela ne changera rien, si ce n'est que le nombre de particules émises décroit exponentiellement...