la ligne droite est-elle le plus court chemin entre deux?

Bonjour,
On entend souvent dire que la ligne droite est le plus court chemin entre deux points. Soit. Savez-vous quelle contrainte topologique particulière supporte cette affirmation?
ça, c'est simple. Mais un peu plus compliqué: sauriez-vous le démontrer, ou au moins quel est le principe de la démonstration?
Non, ce ne sont pas que des maths, car vous utiliserez une équation qui est très classique et utile en physique (classique ou quantique): laquelle?

Je n'ai pas les moyens de le démontrer. Mais je pense qu'on parle de ligne géodésique. La lumière suit des lignes géodésiques. On sait que l'énergie courbe l'espace-temps. La masse est une forme d'énergie donc la masse courbe l'espace-temps. Donc quand la lumière d'une étoile passe près du soleil, la lumière est courbé mais continue à allé en ligne droite par le chemin le plus court qui est la ligne géodésique. On parle de ligne géodésique pour la géométrie non-euclidienne de Riemman je crois...

Bonjour,
Avant de partir dans des considérations compliquées, restons tout d'abord dans notre espace classique. Il faut maitriser les concepts simples avant de s'embarquer dans des discussions compliquées....

Savez-vous quelle contrainte topologique particulière supporte cette affirmation?

Ca se base sur le fait qu'on est dans un espace euclidien.

sauriez-vous le démontrer, ou au moins quel est le principe de la démonstration?

La démonstration est-elle possible avec un bon niveau lycée ?

bonsoir,
bravo: ce n'est effectivement vrai que dans un espace euclidien.
Prenons le cas du plan (cela facilite les calculs et c'est transposable à 3D). La définition de la distance entre deux points s'écrit ds² = dx² + dy², si ds est l'élément différentiel de la courbe qui relie les deux points.
Chercher la courbe qui représente la plus courte distance entre ces deux points, c'est chercher l'équation de courbe qui minimise cette distance...
Pour résoudre ce problème, on utilise une équation très connue en physique, savez-vous laquelle?
Elle n'est pas au programme du lycée, mais ceux qui s'intéressent à la physique ou au calcul différentiel doivent la connaitre....

Bonsoir,

J'ai cherché mais je n'ai pas trouvé l'équation. Ma prof de math m'a parlé d'une démonstration assez barbare avec des laplaciens, mais ça c'est pour les dérivées partielles non ? Elle est vraiment très connue ^^?

Non, ce n'est pas si compliqué... cherche du coté d'Euler!

L'équation d'Euler Lagrange ! Merci du tuyau^^. J'essaierai la démonstration ce week-end si je trouve le temps.

oui, Euler-Lagrange!