Exercice un peu difficile

Bonsoir,

Voici un exercice que mon professeur nous avait donné en DS je crois l'année dernière, et que je vous propose maintenant.
Il n'est pas très long normalement. Enfin sauf si on arrive pas à trouver bien sûr



Bonne chance

Bonsoir,
Sympa et instructif cet exercice! Cas typique du problème à aborder sou l'angle de l'énergie et de son théorème de conservation...

Je propose ma solution.

1) On étudie le système {solide} dans le référentiel terrestre gouttière. Ce solide est soumis à 2 forces :

- la réaction normale du support appliquée au centre de gravité du solide, de direction verticale, orthogonale au plan incliné, dirigée vers le haut et de valeur R.

- le poids appliqué au centre de gravité du solide, de direction verticale, dirigé vers le bas et de valeur P = mg.

D'après le théorème de l'énergie cinétique :



D'un autre côté, si on note B' notre point d'arrivée et en tenant compte du fait que la vitesse est nulle en ce point, on obtient :



Soit par transitivité :



Ou encore :



Soit A = B' = B. Ainsi, notre point d'arrivée en négligeant les frottements est le point B.

2) Loi des sinus : Soit ABC un triangle de côtés BC = a, AC = b, AB = c et d'angles ^A = alpha, ^B = beta et ^C = gamma. Alors la loi des sinus nous fournit :



On veut dans un premier temps déterminer la longueur totale du chemin parcouru par le solide, c'est-à-dire :



D'après notre théorème :



D'un autre côté :



D'où,



On projette O orthogonalement sur le cercle en O' et soit H le projeté de C sur cette droite (voir dessin). On raisonne dans le triangle rectangle OHC. D'après notre lemme nous avons :



En utilisant le fait que le travail de la force de frottements, supposée constante, sur une trajectoire curviligne est donnée par la formule



, nous avons d'après le théorème de l'énergie cinétique, entre les points A et C :



Ou encore :

ça m'a l'air juste, en tout cas, je trouve le même résultat final.

Par contre, comme je le disais, l'exo nous a été donné en classe de première S donc à faire avec les ntions au programme. Je propose ma solution qui est celle du professeur :

Je passe sur la question 1 qui est simple.

Question 2, donc.
On applique de nouveau le TEc. on a donc maintenant le travail de la force f qui est à prendre en compte. Ce travail, on ne peut pas le calculer facilement parce la direction du vecteur f varie. On va donc faire la somme des travaux élémentaires.



D'où
Car f et l mêmem direction sens opposés.

Ainsi :

Je passe les calculs suivants qui sont simples, on a : (r le rayon bien sûr) et

On a donc l'expression du travail de f en fonction des données du problème, on peut donc se ramener au TEc et c'est fini. On trouve finalement :



L'application numérique donne 0.148 N, comme ce que tu avais trouvé toi.

Pas facile pour des élèves de première !!

En somme, tu démontres "ma" formule ... Par contre, je n'ai jamais vu le petit "delta", les travaux élémentaires l'année dernière ... Ca m'a l'air d'être du hors-programme ton truc ?