Comment prévoir la trajectoire d’un cyclone ?

Bonjour,

Nous sommes un groupe de deux élèves en 1ère S.
Nous disposons d'une problématique et d'un plan :

Comment prévoir la trajectoire d’un cyclone ?

1 Élaboration d’un modèle mathématique
1.1 Une première approximation
1.2 L’effet de la force de Coriolis

2 Modèle appliqué au cas du typhon KOPPU
2.1 Implémentation et résolution numérique
2.2 Typhon KOPPU

3 Limites du modèle de prédiction
3.1 Incertitude des différentes données
3.2 D’autres forces non prises en compte

Références :
[1] Richard Feynman. Le cours de physique de Feynman, mécanique 1. Dunod, 1999.
[2] Alexandre Moatti. Le mystère Coriolis. CNRS Éditions, 2014.
[3] A visualization of global weather conditions forecast by supercomputers updated every three hours. url : earth.nullschool.net/ (visité le 18/10/2015).
[4] Cooperative Institute for Meteorological Satellite Studies and University of Wisconsin-Madison. url : tropic.ssec.wisc.edu/archive/ (visité le 17/10/2015).
[5] National Hurricane Center. url : nhc.noaa.gov/data/ (visité le 17/10/2015).
[6] Regional and Mesoscale Meteorology Branch of National Oceanic and Atmospheric Administration. url : rammb.cira.colostate.edu/products/tc_realtime/ (visité le 17/10/2015).

D'une part, il nous faut bien maîtriser le concept de force (d'inertie et d'interaction), de masse (inerte et grave): et c'est là que tout va de travers… Plus on y réfléchi, plus on se sent perdu. Peux-tu nous donner les références de livres abordables qui expliquent ces différents concepts ?

D'autre part, comme tu es un habitué de la simulation numérique, on souhaite bénéficier de ton savoir dans ce domaine. En effet, la partie 2 repose essentiellement sur la résolution numérique d'équations différentielles. Nous maîtrisons plutôt bien le langage Python (voir deux programmes que nous avons écrit git.framasoft.org/he2lo/scripts4numpy/raw/master/SolarSystem et git.framasoft.org/he2lo/scripts4blender/blob/master/PlatonicSolidFractal.py).

Nous avons sélectionné les données utiles pour la simulation du typhon Koppu qui a sévi dans les Philippines il y a deux jours : rammb.cira.colostate.edu/products/tc_realtime/loop.asp?product=hwrfwind&storm_identifier=WP242015&starting_image=2015WP24_HWRFWIND_201510171200.

À te lire.

Bonsoir,
Commençons d'abord par le concept de masse. Tu trouveras la notion de masse dans deux formules étudiées au lycée : f = m*a et p = m*g. Dans le premier cas, il s'agit de la masse inertielle. Dans le second cas, il s'agit de la masse grave.
Dans le premier cas, nous avons affaire à la seconde loi de Newton. Cette loi stipule que pour modifier le mouvement d'une masse, i.e. pour lui communiquer une accélération, il faut appliquer à cette masse une force proportionnelle à cette masse. On peut dire que la masse "s'oppose" à la modification du mouvement. Pour simplifier, c'est l'inertie.
Dans le second cas, la masse grave subit l'attraction gravitationnelle.
Einstein a postulé en construisant la théorie de la relativité générale que la masse grave et la masse inertielle étaient équivalentes.
Le concept de force d'inertie est plus compliqué, je reviendrai dessus, parce que tu ne comprendras pas la force de Coriolis sans savoir ce qu'est une force "d'inertie". Je mets des guillemets car ce ne sont pas vraiment des forces...

C'est clairement bien expliqué : merci d'avoir précisé la nuance.
En ce qui concerne le concept de force d'inertie, je pense avoir saisi le principe. Tu me dis si je me trompe :

Imaginons un astronaute en sortie extravéhiculaire dans le référentiel de son vaisseau spatial que l'on suppose galiléen. Il se propulse avec des réacteurs, si bien que son mouvement est rectiligne uniforme. Au moment ou il commence à décélérer (une forte poussée dans le sens opposé de sa direction de moins en moins forte jusqu'à son immobilisation par rapport au référentiel du vaisseau), il lâche un ballon. Le ballon a un mouvement rectiligne uniforme, identique à celui de l'astronaute avant qu'il décélère. Pour l'astronaute, le ballon accélère. Comme le référentiel de l'astronaute n'est pas en translation uniforme par rapport à celui de son vaisseau, celui-ci n'est pas galiléen. Comment expliquer cette accélération si l'on considère que le référentiel de l'astronaute est galiléen ? En ajoutant un vecteur accélération appliqué au ballon : une force "fictive". Mais pas si "fictive" dans le sens où un passager d'un véhicule sera projeté vers la vitre si le véhicule freine brutalement... C'est le même principe pour la force de Coriolis sauf qu'en raison de la rotation de la Terre, le vecteur accélération change aussi de direction.

domi a écrit:Peux-tu m'en dire un peu plus sur ta démarche, en particulier comment tu comptes établir l'équation de la trajectoire d'un cyclone pour baser ton modèle numérique ?

Partie 1 :
Tout d'abord, il s'agit de montrer les moteurs de ces mouvements d'air qui engendrent cyclones et anticylones par l'expérience (en l’occurrence, on se contentera de la température et de la pression atmosphérique). Puis d'en déduire un modèle simple à partir des observations faites. Cela fait, on ajoute quelques forces supplémentaires (frottements, car l'air est un fluide un peu visqueux, la force de Coriolis, la force d'inertie d'entraînement (qu'est ce que c'est ?)).
Pour détailler, en première approximation, j'observe qu'entre une zone de basse pression et une autre zone de forte pression, un mouvement d'air de trajectoire rectiligne se crée de la zone de forte pression vers celle de basse pression. Ainsi je dispose d'une force qui décrit le mouvement d'une masse d'air définie par F = -dV * vP, où dV représente le volume de la masse d'air et vP la direction où varie la pression.
Partie 2 :
Dans un second temps, on vérifie la validité du modèle avec un exemple réel. On détaille l'implémentation. On livre les résultats bruts de la simulation. La simulation se fait en deux dimensions à partir de cartes de pressions et de vecteurs vitesse des vents à différentes altitudes si possible.
Partie 3 :
Puis, on essaie de trouver des raisons qui expliquent les limites du modèle: interaction air-océan, l'incertitude liée aux mesures utilisées pour la simulation...

Bonjour,
Je vais te répondre plus longuement dès que j'ai un moment.
En attendant, je te conseille la lecture du livre "Météorologie - 100 expériences pour comprendre les phénomènes météo" de Yves Corboz. Il n'y a pratiquement pas de mathématique mais des bonnes explications des phénomènes, en particulier de l'influence de la rotation de la terre sur les mouvements des masses atmosphériques.

C'est vu, merci !
[EDIT] À propos, je pense que l'on va se passer d'expériences pour expliquer comment les mouvements de masse d'air se forment: les expériences que j'imagine sont trop classiques; c'est du vu et revu, et je pense que cela risque de manquer d'attrait pour le jury. De plus, réaliser une simulation numérique correcte représente un travail assez conséquent. Qu'en penses-tu ?

Bonjour,
Je ne sais pas ce que tu appelles une simulation numérique correcte, mais c'est sur que simuler la formation d'un cyclone n'est pas simple, et pour tout dire très au dessus de tes moyens. Sais-tu qu'il n'existe pas simulation "correcte" de la trajectoire d'un cyclone, mais que détermine celle-ci à partir d'analyse statistique des trajectoires réelles ?
Je pense que tu te trompes à propos des expériences. Pour un TPE, une expérience simple, bien menée, bien comprise et bien expliquée est une excellente chose, appréciée des profs.
Si tu veux t'entrainer à la simulation numérique, tu pourrais par exemple essayer de modéliser puis de simuler la trajectoire d'un objet massif que se déplace dans le référentiel géocentré (donc non galiléen) sous la seule influence de la gravité et de la rotation de la Terre, avec une vitesse initiale non nulle. Cela te permettra de découvrir les équations nécessaires et de toucher les difficultés pratiques, comme par exemple travailler en coordonnées sphériques ...

Bonsoir,
Par simulation numérique "correcte" j'entendais "bien menée". C'est intéressant cette intervention des statistiques dans la simulation.
Merci pour ton avis sur les expériences, il est vrai que sans elles il n'est pas très pertinent d'élaborer un modèle (on a d'ailleurs réalisé des chronophotographies dans un manège inertiel qu'il faut exploiter).
Ton idée de simulation me plaît, mais vu que les données satellitaires sont des projections sur le plan du globe, autant travailler directement en coordonnées cartésiennnes, non ?

Une simulation numérique est correcte lorsqu'elle permet d'exhiber les mécanismes que l'expérience met en évidence. ce qui m'amène une remarque à propos du travail dans le référentiel géocentré. Si tu travailles sur le plan avec des coordonnées cartésiennes, tu vas avoir du mal à bien appréhender la raison de l'apparition des accélérations d'inertie et de Coriolis !
Autre chose, l'analyse statistique des trajectoires n'est pas une simulation. On ne simule pas, on analyse des données obtenues de l'expérience...

Compris. Il faut bien que je montre (par le calcul) d'où les forces d'inertie d'entrainement (=centrifuge) et de Coriolis viennent, non ? Car ça a l'air d'être au dessus du niveau 1ère: planet-terre.ens-lyon.fr/article/force-de-coriolis.xml#expression-math. La question est: comment dois-je les introduire dans les calculs ?
De plus, je peux ne pas tenir compte de la force centrifuge dans mon cas ?
Sinon, je dispose des équations nécessaires pour ta proposition de simulation, je programme ça et tu me dis si ça convient ?

Bonsoir,
Sur le plan des mathématiques, oui c'est au dessus du niveau de la première. Mais ce n'est pas incompréhensible non plus. Il te manque un seul outil, le produit vectoriel, à supposer que tu manipules bien la géométrie vectorielle.
Pour ton TPE, je crois préférable que tu admettes l'expression de l'accélération de Coriolis sans essayer d'en démontrer l'origine. Il te suffit de savoir que cette accélération provient de la rotation de la Terre dans un repère terrestre non galiléen.

Avant de programmer, prend l'habitude d'écrire ce que tu veux programmer, en définir l'analyse fonctionnelle. Dans cet esprit, peux tu m'indiquer en français et avec les explications, ce que tu veux vraiment programmer ? C'est la première chose que tu devras énoncer dans ton TPE...

Soit la Terre d'origine O, de rayon r, d'axe de rotation z et de vitesse angulaire w. On se place dans le repère suivant:

Soit un corps de masse m qui se déplace dans le référentiel géocentré (non galiléen) sous la seule influence de la gravité et de la rotation de la Terre, sans vitesse initiale.
Il se localise sur la surface de la Terre à (r, theta, phi). L'expression du poids qui s'applique sur l'objet est P = hat(r)mg, avec g l'accéleration de la pesanteur.
L'expression de la force de Coriolis devient : F_ic = 2mw(hat(r)v_phi * sin theta + hat(theta)v_phi * cos theta - hat(phi) (v_r * sin theta + v_theta * cos theta)).
On montre par un calcul ce résultat.

La vitesse (vecteur vitesse) change car des forces qui s'appliquent sur elle, ce qui provoque une certaine accéleration. Comme la vitesse change, la position de l'objet change.
En première approximation, on détermine la vitesse à l'instant t+dt de l'objet en fonction de la vitesse et de l'accélération à l'instant t subie par l'objet:
v(t+dt) = v(t) + dt*a(t)
De même, on détermine la position à l'instant t+dt de l'objet en fonction de la position et de la vitesse à l'instant t de l'objet:
p(t+dt) = p(t) + dt*v(t+dt)

Le programme de calcul que l'on utilise devient:

Code:

T: durée de la simulation
dt: pas de calcul
m: masse de l'objet
Pour t allant de 0 à T:
F(t) = F_g(t) + F_ic(t)
v(t+dt) = v(t) + dt*(F(t)/m)
p(t+dt) = p(t) + dt*v(t+dt)
Afficher p(t+dt)
FinPour


Bonjour Julien,

Première réaction à chaud en lisant ton texte : sais-tu ce que tu simules ?
Dans le référentiel que tu as choisi, tu devrais écrire le bilan des forces qui s'exercent sur l'objet de masse m dont tu veux calculer le mouvement, puis établir l'équation différentielle de son mouvement et ensuite l'intégrer (2 fois...) avec la méthode d'Euler puisque c'est cette méthode d'intégration d'une EDO que tu choisis (et tu as raison en l'espèce).

Une question accessoire : que signifie hat() ?

On simule le déplacement d'un corps massif sur la surface de la Terre soumis à l'attraction terrestre et aux forces d'inerties dues à la rotation de la Terre. C'est le bilan des forces. Par contre, je ne vois pas comment faire ensuite... Dans le programme, on intègre bien l'accélération pour obtenir la vitesse, puis la vitesse pour obtenir la position, non ? On intègre bien deux fois, non ? Il me semble que le programme du précédant message est générique: il suffit de changer l'expression de la force pour simuler le comportement de tout corps.

hat(), c'est le petit chapeau au dessus des vecteurs dans le schéma.

Si j'ai bien compris, tu étudies le mouvement d'un corps en chute libre dans un champ de gravitation, sa vitesse initiale étant nulle...

Tu sais sans doute qu'une force est proportionnelle à une accélération, conformément aux lois de Newton. Lorsque tu fais le bilan des forces pour en déduire l'équation différentielle de mouvement, tu utilises des accélérations, qui sont des dérivées secondes de l'équation de mouvement. Donc, à partir de cette équation, tu intègres une fois pour obtenir la vitesse et une seconde fois pour obtenir la position, à partir de laquelle tu construiras ta trajectoire. Il y a donc un léger problème dans ton programme ... Sans compter qu'à chaque intégration, tu introduis une constante, qui sera déterminée par les conditions initiales.

Dans un repère galiléen, la trajectoire d'un corps en chute libre est une droite qui est colinéaire au vecteur du champ de gravitation (si la vitesse initiale horizontale est nulle bien sur). Ce n'est pas le cas dans un référentiel en rotation, à cause de l'accélération de Coriolis. A toi de voir pourquoi et quelle est la trajectoire de ton corps dans ce référentiel.

Ah oui autre chose : utilise plutôt la convention typographique des physiciens : les vecteurs s'écrivent en gras tout simplement. A moins que tu n'utilises LaTex, ce qui est plus élégant mais un peu plus compliqué.

Oui, j'ai fait n'importe quoi ! J'avais oublié d'indiquer que t varie de 0 à l'entier(T/dt), en s'incrémentant de 1 à chaque boucle...

Concernant les équations du mouvement du mobile, je propose de poser un référentiel fixe orthonormé (O, x, y, z) d'origine O le centre de la Terre et un référentiel en rotation orthonormé (O', x', y', z') O' de distance R (rayon de la Terre) par rapport à O, de latitude L et de longitude P (angles), avec z' colinéaire à OR (vecteur position R). La rotation de la Terre est définie par w = dP/dt: la vitesse de rotation w correspond à un petit changement de longitude dP du référentiel tournant pour un petit intervalle de temps dt: w est la dérivée de P par rapport au temps. On considère que son accélération est nulle -> w constant. Ceci fait, je peux dire qu'un corps massif localisé à r' dans le référentiel tournant est soumis à une accélération due à son poids valant dans le référentiel fixe, avec r = r'+R, G constante gravitationnelle et M la masse de la Terre:  P = -r/norme(r)*g avec g l'accélération de la pesanteur d'où P = -r/norme(r)*(GM/(norme(r)^2)) d'où P = -r*(GM/(norme(r)^3)).

C'est un peu dense...

Bonjour,
La discrétisation du temps et la valeur de son pas ne sont pas tes premiers soucis :-)
En effet, il te faut établir les équations différentielles du mouvement de ton corps massif dans le champ de gravitation terrestre, dans le repère terrestre. Ne te préoccupe pas pour l'instant de la manière de les intégrer : les langages modernes comme Python offrent des outils qui font ça pour nous.
Tu dois obtenir 3 équations différentielles, une pour chaque axe, à partir de ton équation vectorielle. Essaye de les établir d'abord dans un référentiel galiléen puis ensuite applique la correction du au caractère non galiléen de ton référentiel, ce qui revient à ajouter les accélérations d'entrainement et de Coriolis. L'important est de voir sur quelles composantes de ton référentiel (x, y ou z) ces corrections s'appliquent...

Bonjour,
Je viens de relire ton premier message, et il m'est venu un gros doute ! La trajectoire d'un cyclone n'est pas influencée par la force de Coriolis ou si peu que c'est complètement négligeable. C'est la formation de la masse nuageuse du cyclone, dans son enroulement, qui résulte de Coriolis...

Sinon, as-tu établi les trois EDO à partir de ton équation vectorielle ?

Oui, je m'en suis rendu compte... la trajectoire d'un cyclone est très complexe (elle dépend de la pression, de la température de l'air, de l'eau et des forces de friction près du sol entre autres). La problématique doit être reformulée. On peut alors s'intéresser à expliquer cet enroulement en forme de spirale (en faisant un bilan des forces).

On est assez pris par le travail pour le moment. Ce week-end on fera le point.

C'est l'objet de la simulation de la chute d'un corps massif dans un champ de gravitation... Si tu analyses la formation du cyclone, tu y trouveras un lien direct :-)

En suivant les notations du précédant message, les accélérations qui s’appliquent sur chaque composantes
du référentiel tournant sont:
\[
\systeme{\ddot{x}=2\omega\sin(\lambda)\dot{y},
\ddot{y}=-2\omega(\sin(\lambda)\dot{x} + \cos(\lambda)\dot{z}),
\ddot{z}=-g+2\omega\cos(\lambda)\dot{y}}
\]

Il se trouve que l'on peut intégrer deux fois les équations, est-ce que faire une résolution numérique vaut la peine?:

x = t**2*v_x*w*sin(latitude) + t*v_x + x
y = t**2*(-v_x*w*sin(latitude) - v_z*w*cos(latitude)) + t*v_y + y
z = t**2*(-g/2 + v_z*w*cos(latitude)) + t*v_z + z

reste à les appliquer dans une simulation pour voir ce que ces équations représentent concrètement.
J'ai rédigé toute cette partie. J'ai peur que les profs me reprochent d'avoir fait quelque chose de très dur à maîtriser et finalement assez classique dans le supérieur...

Sinon, l'important c'est d'avoir compris le concept de force d'inertie.

Bonjour,
J'ai les mêmes équations que toi, à plusieurs signes près. Comme je ne connais pas l'orientation de ton référentiel, il est possible que cela en soit la cause.
Il faut que tu décrives les hypothèses qui t'ont conduit à poser ces équations et surtout que tu saches les expliquer, c'est à dire en expliquer leur signification et le comportement qu'elles décrivent. il faut aussi que tu relies ces équations et leur description de la chute d'un corps massif dans le champ de gravitation terrestre à la formation d'un cyclone...
Dans un TPE, on demande essentiellement aux élèves d'avoir compris les mécanismes et de savoir les expliquer. Il faut donc travailler cet aspect des choses.
Enfin, si tu veux tracer une courbe représentative d'une chute, tu peux soit utiliser les solutions, en expliquant d'où elles viennent (compliqué, tu ne sais pas ce qu'est une intégration) ou utiliser le résultat d'un programme d'intégration d'une EDO, mais c'est aussi compliqué...
As tu fait le plan de ton TPE, si oui, peux tu me l'envoyer par mail ?

En ce qui concerne la courbe représentative de la chute, on souhaite utiliser des méthodes d'intégration numérique simples à expliquer (Euler) pour ne pas trop prendre de risques... Est-ce qu'à notre niveau on peut utiliser (et donc expliquer) des méthodes plus avancées (Runge-Kutta+Verlet)?
Le plan est prêt et envoyé. Merci encore pour ton soutien.

Bonsoir,
Non, reste-en à Euler, qui est compatible avec le problème posé et relativement facile à expliquer.

Bonsoir,
C'est entendu.