Vitesse instantanée, vitesse moyenne, dérivée

Bonjour,
Pour reprendre une discussion en cours dans le forum de présentation que je vien de fermer:

- Physiquement, pourquoi la notion mathématique de dérivée décrit-elle bien la notion physique de vitesse?

- calcul de la vitesse moyenne à partir de la vitesse instantanée, et pas l'inverse!

Au fait, il conviendrait d'abord de définir les termes! Qu'est-ce qu'on vous donne comme définition (en français!) pour vitesse moyenne et vitesse instantanée?

La vitesse c'est la rapidite en d'autre terme c'est le nombre de metres que parcours un corps en une seconde.

Que penses-tu de ce que j'avais fait pour l'intensité :

Un exemple simple est la définition du courant. En fait, en physique, les équations différentielles viennent de l'étude des phénomènes à l'échelle infinitésimale (d'un point de vue temporel). La définition du courant, c'est un flux de particules chargées. La valeur de l'intensité du courant, c'est la quantité de charges qui passe à travers une surface sur un temps donné. Or, le courant est une grandeur instantanée. On ne peut pas écrire I=Q/T, avec Q l'ensemble des charges qui traverse pendant la durée T et T un temps long. Ce serait un courant moyen, mais qui ne reflète pas les changements rapides qui peuvent survenir de manière ponctuelle sur le débit de ces charges. Il faut résonner de manière infinitésimale, en considérant que sur l'unité de temps (minuscule), on peut faire l'approximation que le débit est constant, et donc représentatif du courant à ce moment t précis.

Ainsi, tu prends un fil électrique, et tu définis un plan S qui est une section de ce fil. Pendant [TEX]\\delta_t[/TEX], il y a [TEX]\\delta_q[/TEX] charge qui traverse S. Plus précisément, entre l'instant [TEX]t[/TEX] et l'instant [TEX]t+\\delta_t[/TEX], [TEX]\\delta_q[/TEX] charge ont traversé S. Et donc, [TEX]i(t)=\\frac{\\delta_q}{\\delta_t}[/TEX].

On remplace i par v et q par x.

Qmath a écrit:La vitesse c'est la rapidite en d'autre terme c'est le nombre de metres que parcours un corps en une seconde.

Définis-tu la vitesse instantanée? la vitesse moyenne? ou bien l'unité SI de la vitesse, en m.s-1? Et puis, assimiles-tu "vitesse" et "rapidité"? Le terme "rapidité" n'est pas usité en physique, à part dans l'expression "rapidité de modulation" qui a un sens très précis en télécommunication, qui n'a pas de rapport avec la vitesse en mécanique....

A propos de vitesse moyenne et de vitesse intantanée : imagine un bref intervalle de temps, aussi bref que tu voudras. Découpe cet intervalle de temps, je l'appelle T,en autant de sous-intervalles que tu voudras . Appelons-les ti.
En imaginons que mon mobile se déplace avec une vitesse différente entre ti et ti+1, quelque soit i. Si le nombre de sous-intervalles devient infini, et donc ti+1 - ti tendant vers 0, je définis la vitesse instantanée de mon mobile entre ti+1 et ti, pour ti+1 - ti tendant vers 0.
Pour calculer la vitesse du mobile sur l'intervalle T, tu vas additionner les vitesses instantanées, dont le nombre tendra vers l'infini: tu vas intégrer les vitesses instantanées pour en faire une vitesse moyenne. C'est la continuité de l'ensemble des réels qui nous permet de faire ce genre de calcul.

Mais tu ne peux pas faire l'opération inverse: sauf à supposer la vitesse instantanée constante, tu ne peux pas déduire la vitesse instantanée du mobile à l'instant t, à partir de sa vitesse moyenne sur T. Savoir que tu as fais Paris Lyon en 5 heures, soit une vitesse moyenne de 100 km.h-1 (en gros) ne garantit pas que tu n'aies pas fait de pointe à 180 km.h-1. Et d'ailleurs, ton compteur n'indique lui aussi qu'une vitesse moyenne....

domi a écrit:
Définis-tu la vitesse instantanée? la vitesse moyenne? ou bien l'unité SI de la vitesse, en m.s-1? Et puis, assimiles-tu "vitesse" et "rapidité"? Le terme "rapidité" n'est pas usité en physique, à part dans l'expression "rapidité de modulation" qui a un sens très précis en télécommunication, qui n'a pas de rapport avec la vitesse en mécanique....

J'essayais de definir vitesse tout court, le mot rapidite vient de mon dictionnaire cela ne fait pas parti du vocabulaire physique.

domi a écrit:
A propos de vitesse moyenne et de vitesse intantanée : imagine un bref intervalle de temps, aussi bref que tu voudras. Découpe cet intervalle de temps, je l'appelle T,en autant de sous-intervalles que tu voudras . Appelons-les ti.
En imaginons que mon mobile se déplace avec une vitesse différente entre ti et ti+1, quelque soit i. Si le nombre de sous-intervalles devient infini, et donc ti+1 - ti tendant vers 0, je définis la vitesse instantanée de mon mobile entre ti+1 et ti, pour ti+1 - ti tendant vers 0.

Je veux bien... mais pourquoi ne pas definir la vitesse instantanee en ti comme etant la vitesse moyenne entre deux instant ti+1 et ti-1 si/quand ti+1-ti-1 tend vers 0

domi a écrit:
Pour calculer la vitesse du mobile sur l'intervalle T, tu vas additionner les vitesses instantanées, dont le nombre tendra vers l'infini: tu vas intégrer les vitesses instantanées pour en faire une vitesse moyenne. C'est la continuité de l'ensemble des réels qui nous permet de faire ce genre de calcul.

Cela depasse mes conaissance mathematique . N'est-il pas plus simple de faire le rapport distance_totale/temps_du_trajet

En fait je n'arrive pas a comprendre pourquoi tu veux definir la vitesse moyenne avec la vitesse instantanee et pas l'inverse ...

On ne définit pas la vitesse en un point mais sur un intervalle, même si l'intervalle devient infiniment petit, car la vitesse est un rapport entre un intervalle de trajectoire et un intervalle de temps, les deux intervalles tendant vers 0.
Une vitesse moyenne n'est pas la même chose qu'une vitesse instantanée, comme ta note moyenne de physique n'est pas la même chose que chacune de tes notes en physique: elle est mathématiquement de nature différente. C'est un point très important à comprendre.
Reprend mon exemple de trajet en voiture: tu ne peux pas définir une vitesse instantanée à partir d'une vitesse moyenne. Sachant que tu as parcouru 500 km en 5 heures, à une vitesse moyenne de 100 km.h-1, quelles était ta vitesse instantanée au km 101,05 ? Sauf bien sur à considérer que ta vitesse a été constante sur tout le trajet, ce qui est un cas particulier.... C'est comme dire : j'ai 18 moyenne en physique et toutes mes notes sont égales....

domi a écrit:car la vitesse est un rapport entre un intervalle de trajectoire et un intervalle de temps, les deux intervalles tendant vers 0.

Je trouve que dire cela comme ça peut prêter à confusion. En toute rigueur, seul l'intervalle de temps tend vers 0. Comme on fait de la physique, une accélération infinie n'existe pas et de fait, d tend aussi vers 0. Mais en soi, quand on cherche la vitesse instantanée, c'est bien uniquement le temps qu'on fait tendre vers 0. Le fait que la distance tende aussi vers 0 n'en est qu'une conséquence.

domi a écrit:On ne définit pas la vitesse en un point mais sur un intervalle, même si l'intervalle devient infiniment petit, car la vitesse est un rapport entre un intervalle de trajectoire et un intervalle de temps, les deux intervalles tendant vers 0.
Une vitesse moyenne n'est pas la même chose qu'une vitesse instantanée, comme ta note moyenne de physique n'est pas la même chose que chacune de tes notes en physique: elle est mathématiquement de nature différente. C'est un point très important à comprendre.
Reprend mon exemple de trajet en voiture: tu ne peux pas définir une vitesse instantanée à partir d'une vitesse moyenne. Sachant que tu as parcouru 500 km en 5 heures, à une vitesse moyenne de 100 km.h-1, quelles était ta vitesse instantanée au km 101,05 ? Sauf bien sur à considérer que ta vitesse a été constante sur tout le trajet, ce qui est un cas particulier.... C'est comme dire : j'ai 18 moyenne en physique et toutes mes notes sont égales....

Si la vitesse instantanee n'est pas la vitesse moyenne dans un intervalle de temps tres court (dont la duree tend vers 0) , comment la calcule-t-on ?

BenJ a écrit:

domi a écrit:car la vitesse est un rapport entre un intervalle de trajectoire et un intervalle de temps, les deux intervalles tendant vers 0.

Je trouve que dire cela comme ça peut prêter à confusion. En toute rigueur, seul l'intervalle de temps tend vers 0. Comme on fait de la physique, une accélération infinie n'existe pas et de fait, d tend aussi vers 0. Mais en soi, quand on cherche la vitesse instantanée, c'est bien uniquement le temps qu'on fait tendre vers 0. Le fait que la distance tende aussi vers 0 n'en est qu'une conséquence.

Je n'ai pas l'impression que ma phrase indiquait un quelconque lien de causalité:. je constate juste que les deux intervalles tendent vers 0, c'est tout...

Qmath a écrit:

Si la vitesse instantanee n'est pas la vitesse moyenne dans un intervalle de temps tres court (dont la duree tend vers 0) , comment la calcule-t-on ?

Et bien justement, il existe un magnifique outil mathématique pour calculer cette grandeur : la dérivée, dont la définition colle assez bien à la descrption de la vitesse instantanée, comme par hasard!

Il faudrait reprendre la phrase en entier "On ne définit pas la vitesse en un point mais sur un intervalle, même
si l'intervalle devient infiniment petit, car la vitesse est un rapport
entre un intervalle de trajectoire et un intervalle de temps, les deux
intervalles tendant vers 0."
Au début de la phrase, il n'est pas forcément clair que tu parles de l'intervalle de temps. Car c'est bien lui qui est important ! La fenêtre de tir. Le reste est secondaire.

Il me semble important que qmath saisisse la différence entre une vitesse moyenne et une vitese instantanée, ce qui n'a pas l'air gagné...
Il est en effet préoccupant qu'il pense calculer une vitesse instantanée à partir d'une vitesse moyenne dans le cas général. Et je me demande ce qui peut bien lui avoir insufflé cette idée dans son cours!

domi a écrit:Il me semble important que qmath saisisse la différence entre une vitesse moyenne et une vitese instantanée, ce qui n'a pas l'air gagné...
Il est en effet préoccupant qu'il pense calculer une vitesse instantanée à partir d'une vitesse moyenne dans le cas général. Et je me demande ce qui peut bien lui avoir insufflé cette idée dans son cours!

Je me suis tres mal exprime peut etre. Je ne calcule pas la vitesse instantanée a partir de la vitesse moyenne , c'est illogique de le faire sauf dans un cas particulier le MRU. Mais ce que j'essaye de dire c'est que la vitesse instantanee est une vitesse moyenne "particuliere" (c'est la vitesse moyenne d'un intervalle quand la duree de celui ci tend vers 0)

Sommes nous d'accords ?

Non, nous ne sommes pas d'accord. Penses-tu qu'une de tes notes quelconques en physique soit la même chose, ait la même signification, soit le même objet mathématique que la moyenne de tes notes?
Il en est de même pour une vitesse instantanée et une vitesse moyenne.

domi a écrit:Non, nous ne sommes pas d'accord. Penses-tu qu'une de tes notes quelconques en physique soit la même chose, ait la même signification, soit le même objet mathématique que la moyenne de tes notes?
Il en est de même pour une vitesse instantanée et une vitesse moyenne.

Non je ne le pense pas. Tu ma convaincu meme si en cours l'on ma dit que quand la difference entre deux instant t1 et t2 tend vers 0 la vitesse moyenne entre t1 et t2 tend vers la vitesse instantane .. Mais bon je verrai cela avec mon prof de physiques.

On passe a quoi ?

au fait voila ce que je trouve sur http://www.ilephysique.net/phys_1s-mouvement-et-vitesse.php

"La vitesse instantanée d'un point mobile à un instant t peut être assimilée à la vitesse moyenne sur un intervalle de temps le plus court possible encadrant l'instant t."

C'est ce que l'on ma enseigne et je me souviens de l'avoir lu plusieurs fois en divers endroits

EDIT: un de plus http://www.web-sciences.com/fiches1s/fiche6/fiche6.php

Ton cours utilise des moyens qui sont à votre portée et est obligé de faire quelques raccourcis et abus de langage. Ce n'est pas grave à condition d'en avoir conscience...
La formule qu'on vous enseigne par exemple pour la vitesse instantanée est une formule d'analyse numérique (le différence centrée), dont on sait démontrer rigoureusement qu'elle permet de calculer de façon approchée la valeur de la dérivée d'une fonction en un point. La valeur de cette dérivée étant la vitesse instantanée, cela revient à dire qu'on calcule approximativement la valeur de la vitesse instantanée. Mais c'est un abus de langage que de faire tendre une vitesse moyenne vers une vitesse instantanée...
Et tu peux montrer ces échanges de messages à ton prof de physique..... Ou mieux, l'amener sur le forum :-))

J'essayerai

Je viens de trouver aussi "(définition de la vitesse instantanée pour le physicien… : « vitesse moyenne encadrant
l’instant considéré »)" source :http://www.irem.univ-montp2.fr/math_phys/derivee/vitesse_instantanee.pdf

tout ca pour dire que je trouve cette definition partout.

On passe a la derivee ?

oui, les copier-coller....

As-tu vu la dérivée en cours de math?

oui c'est vu

Bon alors reprenons les choses au début....
Pour simplifier, considérons un mobile qui se déplace selon une trajectoire rectiligne. Choisissons un référentiel orienté dans le sens du parcours de la trajectoire.
On définit la vitesse moyenne comme le trajet parcouru par le mobile par unité de temps.
Si le mobile, en mouvement rectiligne quitte le point x1 à l'instant t1 pour atteindre le point x2 à l'instant t2, sa vitesse moyenne est = (x2 - x1)/(t2 - t1) . Si je note delta(x) = (x2 - x1) et delta(t) = (t2 - t1), j'ai = delta(x)/delta(t).

Jusque là rien de nouveau.

Imaginons que je veuille connaitre la vitesse du mobile à chaque instant de son déplacement : c'est la vitesse instantanée.
Je vais imaginer un trajet depuis un emplacement x de la trajectoire qu'occupait mon mobile à l'instant t vers un emplacement infiniment proche qu'il atteindra au bout du temps dt, dt étant un intervalle de temps aussi petit que je le souhaite.
On définit la vitesse instantanée v comme la limite quand dt tend vers 0 du rapport (x(t + dt) - x(t)) / dt . Et bien sur que reconnais-tu?

j'entends déjà ta remarque sur la relation entre vitesse moyenne et vitesse instantanée! Dans l'expression de , on peut certes faire tendre le dénominateur vers 0 et donc approcher la vitesse instantanée. La vitesse instantanée est la limite, au sens mathématique du terme, du rapport. Pour illustrer la différence, pas facile à comprendre je te l'accorde : on parle de vitesse instantanée en un point d'une trajectoire, on ne peut pas parler de vitesse moyenne en un point d'une trajectoire. La vitesse moyenne est toujours établie entre deux points, aussi proche que tu voudras mais deux points.

Donc pour résumer, si un mobile se déplace sur une trajectoire selon un mouvement décrit par une fonction f, la vitesse instantanée en un point quelconque de cette trajectoire est donnée par la fonction f'(t) = d(f(x))/dt . Sa vitesse moyenne sera donnée par = (f(t2) - f(t1)) / (t2 - t1)

domi a écrit:

j'entends déjà ta remarque sur la relation entre vitesse moyenne et vitesse instantanée! Dans l'expression de , on peut certes faire tendre le dénominateur vers 0 et donc approcher la vitesse instantanée. La vitesse instantanée est la limite, au sens mathématique du terme, du rapport. Pour illustrer la différence, pas facile à comprendre je te l'accorde : on parle de vitesse instantanée en un point d'une trajectoire, on ne peut pas parler de vitesse moyenne en un point d'une trajectoire. La vitesse moyenne est toujours établie entre deux points, aussi proche que tu voudras mais deux points.

Je comprend mieux mon erreur : J'avais oublie que la vitesse instantane est en un point alors que la vitesse moyenne est sur un intervalle et tu l'a tres bien dit qu'un intervalle reste un intervalle meme si la duree tend vers 0.

Merci pour l'explication Dominique.

Je viens de me rendre compte que les cours de mecanique que j'avais lu n'etais pas aussi rigoureux que je le pensais aurais-tu de bon cours a me propose ?

Malheureusement, les cours de mécanique qui sont "rigoureux" - sous-entendu sur le plan physico-mathématique, ne sont pas très accessibles à un élève de lycée!
En français, je vois 2 bouquins qui pourraient t'intéresser : le tome 1 de méca de Feynman, qui explique la vitesse en 3 pages écrites petit! Et un bouquin assez génial de Luc Valentin "L'univers mécanique". Il n'y a pas trop de maths dans ce bouquin, et il explique clairement et en français les principes de base. Il est abordable dans beaucoup de ses chapitres par un élève de lycée.

Je viens de me procurer "Supercordes et autres ficelles" de Carlos Calles est ce un bon livre ?

Sinon je voulais demander s'il est rigoureux de dire que la valeur de la vitesse moyenne tend vers la valeur de la vitesse instantane quand delta(t) tend vers 0 .