Introduction à l'équation de Schrödinger

Bonjour,
Pour ceux que ça intéresse, j'ai placé sur mon forum TangenteX.com une page d'introduction à l'équation de Schrödinger de niveau prépa. J'y aborde plusieurs points : d'où vient cette équation, comment l'établir, sa signification physique. En passant, je fournis un programme de simulation d'un paquet d'ondes (en FORTRAN 77) et je prépare un programme de solution de Schrödinger 1D (selon la méthode de Crank Nicolson ou de Numerov, j'hésite...).
Voici le lien : http://www.tangentex.com/Schrodinger.htm

Tout commentaire sera le bienvenu, de même que le signalement des erreurs ou points obscurs, ce qui ne seraient manquer d'exister!

Dominique

salut dominique,

J'me suis dit tiens, jvais aller lire cette fameuse note que j'avais mise de côté.
je reviens donc avec quelques retours :

Les mauvais points ( perçus par moi...et pe pas mauvais pour d'autres !)
Dans leq de schrodinguer dépendante du temps, tu explicites les termes (c'est bien) MAIS
Y(t) ne figure nulle part. cf plus bas, amalgame Psi et Y
Remarque : le code html pour Psi est 936, genre &936;
r est définit en tant que position. De mémoire il me semble que c'est un vecteur contenant les coordonnées du point(pour le produit scalaire) mais je suis pas sûr...et mérite aussi son titre de vecteur!

Pour le passage avec le laplacien, c'est un peu chelou. Le terme de la dérivée partielle sort de nulle part (c'est pas en accord avec ton texte)

Je procède de la
même façon pour les dérivées partielles par rapport à y et à
z. Je somme les
dérivées partielles et j'obtiens donc le laplacien de Y(r,t),
puis je
divise les deux membres par 2m, avec m la masse de la
particule (supposée non
nulle).


Puis je somme les dérivées partielles ainsi obtenue.
J’obtiens
l’équation :

laplacien ok. Par contre, quand tu sommes les dérivées partielles, en fait tu sommes lequation (1) et lequation (2), l'une avec le laplacien, et l'autre avec la dérivée d'ordre 1 par rapport a t. quand tu mets les dérivées partielles (pour moi du mons) j'ai l'impression que tu sommes les dérivées par rapport a x,y,et z et donc on sait pas pourquoi ya une dérivée partielle par rapport a t ni la constante E qui sort de nulle part dans l'intégrale.


Pour le cas de la particule immergée dans le potentiel scalaire U(r), j'ai pas souvenir d'avoir vu ca avec les ondes.
Du coup, je sais toujours pas ce que représente U(r)!

Dans lequation de schroddinger stationnaire, tu ecris Y_n = Y(r,t)e^{iat} mais en latex un alpha apparait...
Donc je trouve assez perturbateur de mettre Y pour Psi et a pour alpha, mais bon...ca reste bien compréhensible tout de même!
Remarque, le code html de alpha est &945;

Ya un autre truc qui me pertube, c'est le d^3r, jte remets pas en cause, mets ca choque a premiere vue, des détails sur ca (comment intégrer,signification) ca serait bien!

Jme suis hélàs arreté a l'étude pratique d'un cas particulier car je dois y aller

Bon je critique hein, mais tout ce que je critique pas je trouve ca bien!
bref :
les commentaires entre chaque étape de calculs c'est excellent.
Les rappels de cours c'est tres TRES bien. (il aurait fallu un rappel sur les ondes mais c'est quand même un gros truc, ca t'aurait glonflé la note...et puis ca reste compréhensible). Parenthèse tout de même moi j'ai vu les ondes donc ca passe, mais quand javais fait ma formation on nous avait balancé schroddinger sans notion d'onde et assurément ca picote les yeux. Donc je sais pas si quelqu'un qui te lit sans notion d'ondes comprenne gd chose.

une derniere petite coquille (si c'en est une) : avant tout ton code (quelques manip pratiques) tu as une ligne en gras :

Cas où U(x) scalaire non nul:

sauf que ya rien qui suit lol.

Mais sinon c'est pas mal du tout !
edit : mes excuses pour schroddinger dont j'ai doublé le d autant que j'ai pu, et le lien pour les caractères http://www.faqs.org/docs/htmltut/characterentities_famsupp_69.html

Bonsoir,
Merci d'avoir pris la peine de lire cette note, inachevée comme tu as pu le constater (U(x) scalaire non nul : non, ce n'est pas un bug, c'est un manque de temps!).
Ce message rapide pour répondre au point qui me semble le plus important:
pour bien aborder Schrödinger et la MQ, il faut bien maitriser le cours de méca ondulatoire. C'est indispensable!

Il semble également que tu aies rencontré des problèmes d'affichage des caractères. Les formules en blanc ne sont pas du html mais des images.
par exemple, dans l'équation dépendante du temps, il n'est fait mention nulle part de Y(t).... Et attention, le forum ne supporte le latex...

Enfin, il y a les habitudes d'écriture... r est bien sur un vecteur (il est noté en gras!), c'est le vecteur OM qui définit la poistion du point. Par habitude, on l'appelle la position!
De même, le facteur différentiel d^3r est une écriture commune en calcul différentiel, que ce soit chez les mathématiciens ou les physiciens, lorsqu'on calcule des intégrales volumiques.

Hello,

Calculons la dérivée première de Y(r,t) par rapport à t, en dérivant
sous l’intégrale, nous obtenons :

Y(r,t) représente psi(r,t) dans ton image, d'ou la remarque avec les caracteres html. Plus loin, idem pour le symbole alpha.

J'ai bien vu que ce sont des images, le probleme est que tu perds cohérence entre l'écriture dans les images et l'écriture html (psi de l'image devient Y en html et alpha de l'image devient a en html essentiellement). C'est qu'un détail.

pour r, ok, je saurai que ca s'appele la position! Au passage, r n'est pas en gras dans ta notation Y(r,t)

Quel navigateur utilises-tu? Je ne constate pas sur IE7 les anomalies que tu mentionnes... dans mon texte, j'ai bien des PSI et des alpha ... Et j'ai bien veiller à ce que le r soit toujours en gras lorsque c'est nécessaire!
Il s'agit donc d'un problème d'affichage, ce qui me rend curieux sur ton navigateur...

A propos des intégrations volumiques, je viens de m'apercevoir que ce n'est pas au programme de math de prépa (sauf erreur de ma part?). pour bien aborder ce sujet, je recommande vivement la lecteur du cours d'analyse (volume 2) de James Stewart, au chapitre 12.

je suis sous FF 3.6

Concernant le dr^3, je peux pas trop te renseigner, ayant fait une prépa intégrée, ya des choses qu'on a pas vues que les prépa classiques voient. Tout ce que je peux dire c'est dans dans les intégration de qqch du style (r+dr)dr, on ignore le terme d'ordre dr^2, car négligeable, mais on a jamais touché ni démontré pourquoi on peut.

Je te rajoute un screen concernant les problèmes d'affichage,

bonjour,
L'affichage de Firefox est donc différent d'IE.... Dommage! Car j'ai bien l'intention de rester fidèle à IE :-)

Toi, utilisateur de mandriva, tu défends IE ? Alors que c'est un navigateur qui ne respectent pas les standards W3C (l'un des pires du genre) ? Sais-tu que les développeurs sont encore obligés de faire des codes spéciaux pour IE pour que l'affichage soit bon justement ?

Bon, ça fait un peu troll, et désolé de l'intervention qui n'a rien à voir avec la physique, mais tu m'as fait bondir là

bah, c'est la différence entre un viel informaticien et un jeune informaticien... IE reste le navigateur le plus utilisé dans le monde, pour encore longtemps je crois. Il est imparfait, mais les autres aussi...
Et puis, il ya des choses plus importantes pour bondir, non? Mais je sens qu'on va sortir largement du domaine de la physique :-))

ben disons que ca dépend à qui tu t'adresses.
Si tu t'adresses a Jean René, garagiste (que le garagiste geek ne s'offusque pas), qui consulte ses mails le dimanche, oui, il est probablement sous IE.

Si tu t'adresses a qqun qui fait des études scientifiques, ca devient un peu plus délicat.

tu crois? je connais une floppée de scientifiques qui utilisent IE et aussi d'autres navigateurs. Et d'après ce que je peux voir des stats du forum, la plupart des membres utilisent IE!

Je sens que tu n'en démordras pas (et en plus j'me sens sur le point de mélanger mes convictions personnelles) donc je m'arreterai avec ce poste concernant IE

Et d'après ce que je peux voir des stats du forum, la plupart des
membres utilisent IE!

Sur 106 membres, je pense que ca reste assez dur de généraliser. Mon école est sous ff, mes amis sont sous...ff (et sont pas tous de la même ecole...ca fait pas mal déjà), mais EFFECTIVEMENT, pe que pour ton article les visiteurs sont plus fréquemment sous IE, un facteur externe influençant ca.( Pour le coup, je pense à compte hotmail plus pass d'ici dans hotmail plus access msn donc navigateur par défaut IE, mais ya aucun chiffre c'est du vécu...).

Quoiqu'il en soit, si tu es aware que la majorité des fréquentations est sous IE, ou FF tu sauras sil faut changer ou non.

PS : j'appuie avec un http://www.w3schools.com/browsers/browsers_stats.asp
et jpense qu'on peut monter les stats...moyennant la cible visée.

laissons ces histoires de navigateurs...
je reviendrai ce we sur tes questions concernant le calcul de dérivée partielle

Juste pour finir là-dessus, il ne faut pas oublier que si IE est le navigateur le plus utilisé, c'est que c'est le navigateur par défaut de Windows !! Donc les gens, ils achètent un PC, ils lancent Windows et paf, ils utilisent IE.

Microsoft a été condamné par l'Europe à rendre obligatoire le choix du navigateur internet lors du premier démarrage. Ca devrait faire bouger pas mal de choses je pense.

Enfin, de mon point de vue, IE doit être descendu pour une raison bien précise : le non-respect des standards. L'IHM, la sécurité etc... je ne me prononce pas vraiment dessus. Chacun a ses préférences et les gouts et les couleurs... Non, le problème d'IE, c'est qu'une page html codée en respectant les standard W3C ne s'affiche pas correctement. IE a toujours obligé les devs de site web a faire des tests de compatibilité IE.

Le jour où IE respectera ces standards aussi bien que FF, Safari, Opera ou Chrome, je laisserai les gens faire ce qu'ils veulent sans rien dire

c'est la loi du plus fort....

fatal_error a écrit:
laplacien ok. Par contre, quand tu sommes les dérivées partielles, en fait tu sommes lequation (1) et lequation (2), l'une avec le laplacien, et l'autre avec la dérivée d'ordre 1 par rapport a t. quand tu mets les dérivées partielles (pour moi du mons) j'ai l'impression que tu sommes les dérivées par rapport a x,y,et z et donc on sait pas pourquoi ya une dérivée partielle par rapport a t ni la constante E qui sort de nulle part dans l'intégrale.

Bonsoir,
je vais donc revenir sur cette partie du calcul qui me semblait pourtant assez simple...
ma fonction PSI(r,t), je la note PSI pour ne pas avoir d'ennui de navigateur :-) dépend de x,y et z par son vecteur r. Elle dépend aussi de t. J'ai donc parfaitement le droit de dériver PSI par rapport à t, puis par rapport à x, y et z.
Notons que la dérivée par rapport au temps contient la constante E, qui ne sort pas de nulle part....
chacun sait que le laplacien d'une fontion f(x,y,z) est égal à la somme des dérivées partielles de f par rapport à x, y et z. raison pour laquelle je calcule les dérivées partielles de PSI par rapport à x, y et z. La somme de ces trois dérivées partielles me fournit le laplacien de PSI.
La suite tient du simple calcul algébrique avec une somme terme à terme de la dérivée de PSI par rapport au temps et du laplacien de PSI.
J'ai l'impression que ta question porte plutôt sur la raison pour laquelle j'additionne (enfin plus modestement, pourquoi Schrödinger additionne!) la dérivée partielle temporelle de PSI et son laplacien (en fait sa dérivée seconde spatiale donc).
Et bien, Schrödinger s'est basé sur l'équation fondamentale de propagation d'un paquet d'ondes (ce n'est pas pour rien que j'ai rappelé le principe du paquet d'ondes...) qui est la première équation que je mentionne. Pour chacune des ondes monochromatiques du paquet, on peut écrire que la somme du laplacien de PSI et de la dérivée partielle d'ordre par rapport au temps de PSI (muni d'un coeff dont on se fiche ici) est nulle. Comme je le mentionnais plus haut, il est difficile d'aborder Schrödinger sans son cours de méca ondulatoire....
Attention toutefois: on ne démontre pas l'équation de Schrödinger. Ce dernier a construit son équation par postulat! Il se trouve qu'elle décrit bien la réalité et donc on la garde!
Et en fait, j'ai simplifié la démo de Schrödinger: il part dans son mémoire de l'équation d'Hamilton-Jacobi, qui formalise l'analogie entre la propagtion mécanique et optique. Pour ceux que ça intéresse, voir le cours de C.Aslangul T1 §9.4.

fatal_error a écrit:
Pour le cas de la particule immergée dans le potentiel scalaire U(r), j'ai pas souvenir d'avoir vu ca avec les ondes.
Du coup, je sais toujours pas ce que représente U(r)!

Rien de plus simple, mais c'est vrai que c'est un peu nébuleux pour le néophyte... Il faut se remettre dans le bain pratique. L'équation de Schrödinger sert à calculer la fonction d'onde d'une particule. Or, une particule est rarement seule au monde! Par exemple, dans un atome d'hydrogène, on veut étudier la densité de probabilité de présence d'un électron. Il n'est isolé le coco: il baigne dans le champ électrique du noyau! Ce qui te donne un beau potentiel scalaire! Dans les exos de MQ, les prof s'ingénient à inventer des potentiels les plus bizarres... Autre type d'exo bien connu : comment un électron passe une barrière de potentiel, tu sais le célèbre effet tunnel! Il s'agit dans tous ces cas de potentiel électrique.

J'ai l'impression que ta question porte plutôt sur la raison pour
laquelle j'additionne (enfin plus modestement, pourquoi Schrödinger
additionne!) la dérivée partielle temporelle de PSI et son laplacien (en
fait sa dérivée seconde spatiale donc).
Et bien, Schrödinger s'est
basé sur l'équation fondamentale de propagation d'un paquet d'ondes (ce
n'est pas pour rien que j'ai rappelé le principe du paquet d'ondes...)
qui est la première équation que je mentionne. Pour chacune des ondes
monochromatiques du paquet, on peut écrire que la somme du laplacien de
PSI et de la dérivée partielle d'ordre par rapport au temps de PSI (muni
d'un coeff dont on se fiche ici) est nulle.

Je soulevais ta tournure de phrase qui portait à ambiguité en fait.
Mais c'est vrai qu'au niveau méta, si j'avais su qu'on cherche à faire apparaitre un truc nul ca aurait facilité la compréhension. Toujours est-il qu'aux premiers abords ca porte a confusion.
la phrase

Puis je somme les dérivées partielles ainsi obtenue

aurait dans son contexte pe été mieux sous la forme je somme la dérivée temporelle et le laplacien obtenu. Car dans le contexte on a l'impression qu'on somme uniquement les dérivées spatiales (cad le laplacien) ce qui n'est pas le cas. Mais bon, pe que c'est que moi

Comme je le mentionnais plus haut, il est difficile d'aborder
Schrödinger sans son cours de méca ondulatoire....

Ben disons que passer d'une equation a une autre, c'est pas tres dur. Du moins ici...
Par contre le sens (pourquoi on pose les équations, et pourquoi on part dans telle piste pour la demo) qu'il y a derrière c'est tout autre chose (et il faut un cours je vais pas te contredire)