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Une page sur l'analyse dimensionnelle

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Une page sur l'analyse dimensionnelle

Message par domi le Ven 26 Nov - 15:59

Bonjour,
Une remarque de serma dans un autre fil m'a donné l'idée d'écrire et de publier une page sur l'utilisation de l'analyse dimensionnelle en physique au lycée et en prépa. Vous la trouverez ici : http://www.tangentex.com/AnaDim.htm
Comme d'habitude, vos remarques et critiques seront les bienvenues.

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Re: Une page sur l'analyse dimensionnelle

Message par Serma le Sam 27 Nov - 12:05

Merci pour cette page très complète.
Prosaïquement l'élève qui veut réussir son examen doit retenir qu'on peut trouver les formules demandées avant de les démontrer. Reconnaissons que c'est plus facile de trouver le résultat quand on le connait à l'avance.

En lisant la page Wikipedia sur le théorème de Buckingham j'ai vu une belle démonstration de la loi de Kepler T^2/R^3=cste qui n'est pas si facile à retenir (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Buckingham#D.C3.A9monstration_de_la_3e_loi_de_Kepler).

Après les dimensions, se serait bien que tu nous écrives un papier sur l'utilisation des cas simples.
Par exemple, pour la période du pendule simple T=2*pi*sqrt(l/g), on n'est pas surpris de voir le résultat tendre vers l'infini quand g tend vers 0 puisque sans pesanteur, rien ne bouge. Et quand g tend vers l'infini ?
Comme le dit l'auteur de "Street-Fighting Mathematics" : une solution correcte doit aussi marcher dans les cas faciles.

À propos du pendule simple, voici une petite énigme pour les lecteurs de ce blog : On sait que T=2*pi*sqrt(l/g) est la période dans le cas des petites oscillations, quand on peut confondre le sinus de l'angle avec l'angle. Que devient la période pour des oscillations plus importantes : plus grande, plus petite, la même ? Un cas simple permet de trouver la réponse à coup sûr. Lequel ?

Serma

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Re: Une page sur l'analyse dimensionnelle

Message par domi le Sam 27 Nov - 14:34

Serma a écrit:Merci pour cette page très complète.
Prosaïquement l'élève qui veut réussir son examen doit retenir qu'on peut trouver les formules demandées avant de les démontrer. Reconnaissons que c'est plus facile de trouver le résultat quand on le connait à l'avance.

En lisant la page Wikipedia sur le théorème de Buckingham j'ai vu une belle démonstration de la loi de Kepler T^2/R^3=cste qui n'est pas si facile à retenir (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Buckingham#D.C3.A9monstration_de_la_3e_loi_de_Kepler).
Après les dimensions, se serait bien que tu nous écrives un papier sur l'utilisation des cas simples.
Bonjour,
Cette page est bien incomplète! Elle n'est qu'une introduction très partielle à une discipline très intéressante, mais peu répandue, comme tu le sais.
A propos d'exemples, je ne pense pas écrire une page spécifique. Je préfère, pour chaque sujet adapté, mentionner la procédure d'adimensionnement lors de l'étude de la modélisation du phénomène (comme par exemple pour la simu de l'expérience de Rutherford).


Par exemple, pour la période du pendule simple T=2*pi*sqrt(l/g), on n'est pas surpris de voir le résultat tendre vers l'infini quand g tend vers 0 puisque sans pesanteur, rien ne bouge. Et quand g tend vers l'infini ?
Tu vois, c'est le genre de raisonnement qui gêne mon sens physique! Les expressions "tendre vers 0" ou "tendre vers l'infini" sont à manipuler avec des pincettes en physique! Voire même à carrément prohiber!
Que serait un espace où g tendrait vers 0. g est ici l'accélération de la pesanteur sur Terre. Si g tend vers 0 c'est donc que la masse de la Terre tendrait vers 0? Quel sens physique donner à cette hypothèse? J'imagine bien sur que tu penses à un espace où le champ gravitationnel tendrait vers 0, c'est à dire en cas d'absence de toute matière. Il faudrait même supposer l'absence de toute énergie selon la relativité générale... Donc l'inexistence de l'univers, et de ton pendule... Il me semble préférable de parler d'une accélération de la pesanteur très faible, par exemple celle régnant sur un astéroïde. Le problème physique serait plus convaincant.. On peut même envisager de demander à l'élève si un pendule oscillerait dans le milieu intergalactique, d'imaginer une expérience de pensée et de vérifier les influences qu'il ne pourrait pas négliger, alors qu'il les néglige dans son laboratoire terrestre!

Idem pour g tendant vers l'infini... Il y a là plusieurs obstacles de taille: la mécanique newtonienne n'est pas applicable pour les fortes valeurs du champ de gravitation, et donc l'équation de la période du pendule n'est plus valable. Les élèves doivent savoir que les lois qu'on leur enseigne ont des limites d'application: vitesse négligeable devant c, gravitation faible, extension très grande devant l'extension d'un atome car sinon il faut appliquer respectivement la relativité restreinte, la relativité générale et la physique quantique (ou la théorie quantique des champs).
D'autre part, les lois de la physique ne sont pas applicables aux singularités! C'est d'ailleurs un problème à résoudre... On ne sait rien du comportement de la matière/énergie à l'approche des singularités, comme par exemple au "fond" d'un trou noir. Il est assez probable qu'une grandeur physique ne puisse tendre vers l'infini (au sens mathématique), petit ou grand. et il est sur que nos lois ne sont pas applicables.

En résumé, je ne pense pas qu'il faille induire les élèves en erreur en leur proposant des raisonnements mathématiques du genre "que se passe-t-il quand g tend vers l'infini dans cette formule". C'est ainsi qu'expliquer la notion de dérivée est assez différent en physique et en mathématique: je ne sais pas physiquement faire tendre un intervalle de temps ou une portion d'espace vers 0!

Je préconise plutôt de leur indiquer les domaines d'application des lois et d'explorer ces domaines.


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Re: Une page sur l'analyse dimensionnelle

Message par BenJ le Lun 29 Nov - 10:33

Je plussoie l'avis de Dominique !

Un exemple tout simple, encore vu récemment. Une fusée qui doit rester altitude constante, consomme du carburant pour se faire. Il fallait trouver la masse de carburant restante en fonction du temps.

La solution trouvée, on me dit : il doit y avoir un problème parce que quand t tend vers l'infini, la masse converge vers une valeur négative. Sauf que quand la masse atteint 0, comme il n'y a plus de poussé, l'équation change et donc la solution aussi !! La fusée ne peut maintenir son altitude, la masse reste à 0 et la fusée retombe.

La personne en question a perdu beaucoup de temps à cause de ceci. Un autre exemple simple et la chute libre. Quand on atteint le sol, il y a la réaction du support qui se rajoute, et donc l'équation change. Si on ne tient pas compte de ça, on trouve qu'on bout d'un temps infini, l'altitude est de - l'infini, ce qui est absurde. De même, il existe deux solutions à l'équation h(t)=0, mais l'une n'est pas valable (t<0) car l'équation de l'on résout physiquement n'est valable qu'à partir de t=0, quand on lâche l'objet et donc qu'il est effectivement en chute libre.

Il faut bien savoir ce qu'on fait physiquement et bien avoir conscience des limites de validités des équations que l'on traite.

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Re: Une page sur l'analyse dimensionnelle

Message par Serma le Mar 30 Nov - 15:41

Je reconnais qu'il est difficile de faire tendre g vers 0. En revanche on peut faire une expérience de pensée et imaginer qu'on remplace le fil du pendule par une tige infiniment rigide et sans masse qui tourne sans frottements autour du pivot. Si on incline le montage jusqu'à l'horizontale on finit par annuler l'effet de g et on ne doit pas être surpris de voir la période augmenter jusqu'à ce que le système n'oscille plus du tout. De même, si g augmente le couple de rappel augmente et la période diminue.

Après avoir vérifié les dimensions de son résultat, ça vaut la peine de questionner son sens physique et de se demander ce qui se passe si telle ou telle donnée augmente ou diminue.

Tester son résultat sur les cas simples (0, infini, pi/2, pi, etc.) est spécialement utile pour détecter ses erreurs dans les problèmes d'analyse de circuits électriques, les changements de repère, etc.

Serma

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Re: Une page sur l'analyse dimensionnelle

Message par domi le Mar 30 Nov - 15:59

Serma a écrit:Je reconnais qu'il est difficile de faire tendre g vers 0. En revanche on peut faire une expérience de pensée et imaginer qu'on remplace le fil du pendule par une tige infiniment rigide et sans masse qui tourne sans frottements autour du pivot. Si on incline le montage jusqu'à l'horizontale on finit par annuler l'effet de g et on ne doit pas être surpris de voir la période augmenter jusqu'à ce que le système n'oscille plus du tout. De même, si g augmente le couple de rappel augmente et la période diminue.
Bonjour,
Dans ton expérience de pensée, l'expression de la période retenue T = 2*pi*sqrt(l/g) n'est plus applicable. En effet, cette expression suppose l'approximation des petits angles en linéarisant l'EDO par l'approximation sin(theta) # theta. Or, cette approximation n'est plus vraie dans ta manip me semble-t-il...


Après avoir vérifié les dimensions de son résultat, ça vaut la peine de questionner son sens physique et de se demander ce qui se passe si telle ou telle donnée augmente ou diminue.
Tout à fait d'accord, en lui apprenant le domaine de validité du modèle i.e. de l'équation qu'il vient de trouver. A propos du pendule par exemple, lui faire prendre conscience des nombreuses approximations, dont la plus évidente est justement la valeur de l'angle initial. En plus, l'expérience est plutôt facile à réaliser. Demande à un elève de choisir un angle initial de pi/2 (placer la tige à l'horizontale) puis fais lui mesurer la période....


Tester son résultat sur les cas simples (0, infini, pi/2, pi, etc.) est spécialement utile pour détecter ses erreurs dans les problèmes d'analyse de circuits électriques, les changements de repère, etc.
Certes, mais il s'agit là plus de contrôle mathématique que physique. On cherche le domaine de validité ou de vraisemblance mathématique du résultat.
Considérons par exemple un problème de mécanique. Pour vérifier une équation de dynamique, pourquoi ne pas faire tendre v vers l'infini. Après tout, ce n'est pas faux mathématiquement. Mais physiquement, c'est ennuyeux! Le contrôle montrerait une vraisemblance mathématique mais tarduirait une hérésie physique qu'un prof attentif ne manquerait pas de relever, voire (en prépa) de sanctionner.

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Re: Une page sur l'analyse dimensionnelle

Message par Serma le Mar 30 Nov - 17:04

Quand j'incline le montage, c'est le plan dans lequel la tige oscille que je bascule. Il me semble que cela revient à remplacer g par g multiplié par le cosinus de l'angle de basculement.

Effectivement la valeur de l'angle initial est très importante.
Pour saisir que la période va augmenter, l'auteur de "Street-Fighting Mathematics" propose d'imaginer qu'on place la tige non pas à pi/2 mais à pi. Le pendule étant à l'équilibre (certes instable) la période sera infinie.
La conjecture la plus raisonnable est donc que la période augmente avec la valeur de l'angle initial.

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Re: Une page sur l'analyse dimensionnelle

Message par domi le Mar 30 Nov - 17:26

Serma a écrit:Quand j'incline le montage, c'est le plan dans lequel la tige oscille que je bascule. Il me semble que cela revient à remplacer g par g multiplié par le cosinus de l'angle de basculement.
Ah oui, je vois ton idée, je crois du moins. Il s'agit d'essayer de faire osciller un pendule dans un plan orthogonal au vecteur g? Mais dans ce cas là est-on vriament dans le cas d'un oscillateur, au sens physique du terme? En tout les cas, l'approche d'un g très petit par cette manip me semble un peu tiré par les cheveux...


Effectivement la valeur de l'angle initial est très importante.
Pour saisir que la période va augmenter, l'auteur de "Street-Fighting Mathematics" propose d'imaginer qu'on place la tige non pas à pi/2 mais à pi. Le pendule étant à l'équilibre (certes instable) la période sera infinie.
Justement, j'ai vu ça et je ne suis pas d'accord! Si l'angle initial est nul, on pourrait dire que la période est nulle. Mais cela a-t-il un sens, dans la mesure où il n'y a pas d'oscillation, et donc qu'il serait difficile d'établir l'EDO du mouvement oscillant et par la même de calculer une période.
Le cas de l'équilibre à PI est encore plus contestable. Si on considère que le pendule est à l'équilibre, pourquoi sa période serait-elle infinie en PI alors qu'elle serait nulle en 0?


La conjecture la plus raisonnable est donc que la période augmente avec la valeur de l'angle initial.
C'est vrai, mais pas linéairement et cela dépend du domaine de variation de theta. On le vérifie très bien numériquement ou en intégrant l'EDO non linéaire par une fonction elliptique de Jacobi. De plus, ceci n'est vrai que pour une énergie inférieure à 2mgl. Dans le cas contraire, on observe une rotation....

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