Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

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Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par poisson rouge le Sam 21 Avr - 14:52

Bonjour,

Je suis actuellement sur un chapitre de mécanique Newtonienne sur les mouvements de chute verticale dans un fluide homogène.
Un DM m'a notamment été posé à propos du mouvement d'ascension d'une bulle de gaz carbonique dans une boisson gazeuse.
On sait tout d'abord qu'une bulle se forme à partir du gaz dissous dans des sites de nucléation et qu'elle remonte à la surface après y avoir atteint un rayon d'approximativement 20 microns. On suppose également, pour simplifier les calculs, que le rayon de la bulle (et ainsi le volume) demeure constant au cours de son mouvement.

Données : rho_e (masse volumique de l'eau) = 1*10^3 kg/m^3
rho_g (masse volumique du CO2) = 1,8 kg/m^3
intensité de la pesanteur = 9,8 m/s²
volume d'une sphère

J'étudie d'abord le cas où on ne considère que le poids de la bulle et la poussée d'Archimède du fluide déplacé par son volume, s'exerçant sur elle.
Nous observons que le poids est négligeable devant la poussée d'Archimède, donc nous instaurons un axe vertical (Oz) pointé vers le haut représentant le mouvement ascendant de la bulle. Après avoir déterminé la valeur de l'accélération à partir du PFD, je calcule la durée nécessaire pour que la bulle atteigne une vitesse de 15 cm/s.
Le résultat est de l'ordre de 10^{-5}s, ce qui est vraiment trop court et irréaliste.
L'accélération est trop importante.

Il faut donc considérer une autre force : la friction fluide de la boisson d'intensité f = kv où k=6*pi*eta*r; r le rayon de la bulle et eta = 1,0*10^{-3} SI.
En appliquant le PFD sur les trois forces, je réécris l'équa diff pour la vitesse et j'obtiens :
dv/dt = g((rho_e/rho_g)-1) - k*v(t)/(rho_g*V)
De là, je déduis une vitesse limite de valeur :
v_lim = (g*rho_g*V((rho_e/rho_g)-1))/k

On me demande ensuite de calculer la vitesse limite d'une bulle de 20 microns et je tombe sur un résultat 10^{-2} fois trop petit par rapport au résultat de l'expérience Sad
Je souhaite donc expliquer la différence et ce qui fait que lors de l'expérience la vitesse limite soit supérieure, mais je n'en ai strictement aucune idée.
Pourriez-vous m'aiguiller ? Merci d'avance Very Happy
A bientôt !
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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par domi le Sam 21 Avr - 20:54

Bonjour,

S'il s'agit bien du sujet de bac auquel je pense (septembre 2006, sujet national, exercice 2), je te propose de relire ton énoncé de la question a) du grand 2. On te parle des forces non négligeables qui s'exercent sur la bulle. Il s'agit d'une aide non déguisée.

Le premier réflexe quand tu étudies un pb de physique, c'est de savoir ce que tu peux négliger pour simplifier les équations. Au bac, tu peux le faire (tu dois le faire) en expliquant ce que tu négliges, devant quoi et pourquoi.
Ici, le poids de la bulle est négligeable devant la poussée d'Archimède, ce que tu vérifieras.
Ton équation différentielle s'écrit donc : mdv/dt = Fa - kv. E n remplacant m par son expression et Fa par la sienne, tu dois trouver une edo un peu différente de la tienne! Cherche un peu.
Au fait, je ne vois pas ce que vient faire ce v(t) dans ton edo?

Même avec une bonne edo, la vitesse limite calculée n'est pas conforme à l'expérience. Le modèle est trop simpliste pour une raison:
- le volume de la bulle n'est pas constant pendant l'ascension: les bulles s'enrichissent de gaz pendant l'ascension. La quantité de matière augmente. Et donc, si l'on suppose que P et T sont constants (à peu près), la loi des gaz parfaits dit que le volume de la bulle augmente!

- si le volume augmente, la poussée d'Archimède augmente. Elle n'est donc pas constante durant l'ascension. Autre effet: si le volume augmente, le rayon de la bulle augmente (à pression constante) et donc la valeur de k, coefficent de frottement augmente.

Bref, c'est loin d'être aussi simple que ça...

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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par poisson rouge le Sam 21 Avr - 21:22

Bonjour Domi, et merci pour ta réponse Smile

Pour le sujet, je ne sais pas s'il s'agit du sujet de bac de 2006. J'airai néanmoins le voir pour comparer quelques trucs.

Ok, ton explication est très claire.
Je me doutais aussi que le volume augmentait au cours du temps, et si j'ai bien compris, le coefficient de frottement augmente moins que Fa. Serait-ce la raison pour laquelle la bulle est tout de même accélérée de manière significative lors d'observations expérimentales ? I think so...
Je ne pense pas devoir négliger le poids en première partie, même si je l'ai constaté, car les calculs seraient un peu plus faux, non ?

En deuxième partie (partie où j'incorpore la force de frottement), si je néglige le poids, cela me donne l'edo suivante :
dv/dt=g(rho_e/rho_g)- kv/m
Ah oui, et pourquoi ne peut-on pas mettre v(t) ? Doit-on "oublier" que c'est une fonction du temps ?
Donc dans ce dernier cas, l'accélération sera déjà un peu (un zigouigoui) plus importante...

Pour mon résultat final, il est 10^{-2} trop petit. Est-ce que la différence avec le cas réel (plus complexe) est trop importante ou est-ce normal que je trouve un si bas résultat pour la vitesse limite ? Je veux dire, je sais que je dois trouver une vitesse limite inférieure à 15 cm/s, mais est-ce que cette différence devrait être moindre en prenant en compte mes calculs ?

Je m'occuperai d'expliquer le modèle expérimental.

Merci encore pour tes explications.


Dernière édition par poisson rouge le Sam 21 Avr - 21:24, édité 1 fois (Raison : "si je néglige le poids", et non la masse)
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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par domi le Dim 22 Avr - 14:47

Bonjour,
Toujours s'il s'agit du sujet de 2006, la première question demande de montrer que le poids est négligeable devant Fa ! Tu dis toi même dans ton premier message que ce poids est négligeable devant Fa.
Il te faut donc calculer le rapport P/Fa et montrer qu'il est très petit devant 1. Ainsi, tu auras montrer que tu peux négliger P devant Fa. Et tes calculs ne seront pas faux pour autant! C'est une habitude de faire ce genre d'opération en physique, sinon, la plupart des calculs seraient infaisables car trop complexes pour nos mathématiques!

Dans ton edo, je ne vois pas pourquoi il te reste une constante dépendante du gaz (rho_g). Par contre, je je ne vois pas apparaitre le volume de la bulle, ce qui est curieux car c'est une donnée du problème et une variable de calcul de Fa...

Si tu écris v(t), ce qui est ton droit, tu devrais alors écrire, dv(t)/dt ...

Pour t'aider, la vitesse limite dans la question 2 est vlimite = rhe_e*g*V/k, avec V volume de la bulle... Elle est de l'ordre de 10^-3 m.s^-1

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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par poisson rouge le Dim 22 Avr - 20:44

Bonsoir,

Je viens de vérifier sur labolycée et il s'agit en fait d'un condensé du sujet de 2006, avec la partie sur le grossissement de la bulle qui a été mise dans la dernière question. C'est du qualitatif.

La première question traite en effet de calculer ce rapport, et de constater que le poids est insignificatif face à la poussée d'A. J'ai toutefois inclu le poids dans mon edo, parce que ce n'était pas bien plus complexe. Sinon je comprends tout à fait l'utilité de cette stratégie, et je retiendrai son importance.

OK pour le terme v(t)

Après, pour mon edo finale, j'ai :
dv/dt = (rho_e*V*g)/m - k*v/m (d'après le PFD)
Ce qui donne directement :
dv/dt = (rho_e*V*g)/(rho_g*V) - k*v/(rho_g*V)
On simplifie, puis :
dv/dt = g(rho_e/rho_g) - k*v/(rho_g*V)

J'ai exagéré mais est-ce faux ?
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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par domi le Lun 23 Avr - 12:50

Soit, tu conserves le poids! je ne vois pas trop l'intérêt ni la logique dans l'énoncé mais bon..

Donc le PFD nous donne, en projetant sur l'axe Oz orienté vers le haut:

mdv/dt = -m*g + V*rho_e*g - kv, avec m = masse de la bulle de gaz, soit m = V*rho_g

d'où dv/dt = -g + (rho_e/rho_g)*g - (k/Vrho_g)v ce qui s'écrit aussi
dv/dt = g(rho_e/rho_g - 1) - (k/Vrho_g)v

Note que le rapport rho_e/rho_g est de l'ordre de 10^3, soit très grand devant 1, ce qui permet d'écrire que dv/dt = g(rho_e/rho_g) - (k/Vrho_g)v, ce qui revient à négliger le poids de la bulle!

En réarrangeant l'edo et en négligeant le poids de la bulle, on obtient dv/dt + (k/Vrho_g)v = g(rho_e/rho_g), qui est l'edo de l'énoncé...

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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par poisson rouge le Lun 23 Avr - 20:26

Effectivement Smile
J'en ai finalement tenu compte hier soir et j'ai négligé le poids de la bulle, conformément à tes indications. Le DM a été rendu ce matin de bonne heure, mais on peut toujours en discuter, cela m'intéresse.

Soit. J'ai donc réarrangé mon edo de telle manière à avoir les résultats attendus.
Du point de vue des calculs, tout est à priori bon je pense.

Pour ce qui est de l'explication à propos de la différence de vitesse dans le cas théorique puis dans le cas expérimental, j'ai dit que la bulle grossissait beaucoup par gain de gaz. Donc pour une augmentation Delta V donnée, il y a une augmentation de Delta racine cubique de r associée (je ne tiens pas compte des constantes dans le calcul du volume), qui est insignifiante face à l'augmentation de volume. Est-ce juste si je l'écris ainsi ? Je ne pense pas que la notation soit rigoureuse... Et qu'elle soit mathématiquement juste de surcroit ! ^^

Mis à part cela, j'ai quelques questions à te poser :

- Est-ce qu'une bulle d'un gaz quelconque dans un liquide quelconque peut se redissoudre ou bien "crever" ?
- Comment varie sa pression interne lorsque sa quantité de matière augmente, et ainsi son volume ? La concentration de gaz est-elle donc constante ou loin de là ?

Merci beaucoup pour le temps passé à m'expliquer, et pour ta patience ! Smile
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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par domi le Sam 28 Avr - 0:44

Bonsoir,
On ne peut pas vraiment dire que l'augmentation du rayon est insignifiante par rapport à l'augmentation du volume... Ne serait-ce que parce que s'il n'y a pas d'augmentation de rayon, il n'y a pas d'augmentation de volume !

Pour répondre à tes questions:
oui, il est possible qu'une bulle de gaz se redisolve dans un liquide. Exemple : lorsqu'un plongeur est atteint du "mal des profondeurs" - teneur en azote dans le sang trop élevée qui provoque lors d'une remontée rapide des bulles d'azote dans le sang du plus mauvais effet pour les articulations et le cerveau - alors on le place dans un caisson hyperbare pour augmenter la pression ambiante et redissoudre l'azote dans le sang. puis on diminue très lentement la pression... très lentement !

Dire qu'on travaille à pression et température constante est encore une approximation. A peu près réaliste. Ceci dit, en terminale, tu n'as pas les outils mathématiques pour faire les choses autrement (il faudrait des dérivées partielles).

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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par domi le Sam 28 Avr - 0:46

Au fait, l'énoncé original du bac est plus festif et peut-être moins politiquement correct : il s'agit d'étudier le mouvement d'une bulle de CO2 dans du champagne :-))

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Re: Une bulle dans l'eau. Poisson rouge est content [TS]

Message par poisson rouge le Dim 29 Avr - 1:25

Merci beaucoup pour ces informations Smile C'est donc la pression qui va faire en sorte que la bulle se redissolve ! Si je comprends bien, c'est une diminution brutale de la pression externe qui engendre la création et la dilatation des bulles, n'est-ce pas ?

Et oui, le champagne Smile Mais chuis pas connaisseur (ni buveur ^^), donc voilà quoi ! drunken
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Message par domi le Dim 29 Avr - 13:23

poisson rouge a écrit:Merci beaucoup pour ces informations Smile C'est donc la pression qui va faire en sorte que la bulle se redissolve ! Si je comprends bien, c'est une diminution brutale de la pression externe qui engendre la création et la dilatation des bulles, n'est-ce pas ?

Et oui, le champagne Smile Mais chuis pas connaisseur (ni buveur ^^), donc voilà quoi ! drunken

C'est exactement cela : ouvre une bouteille d'eau gazeuse un peu rapidement, tu verras!

Qua nt au champagne, dommage! Tu ne sais pas ce que tu perds!

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Message par poisson rouge le Lun 30 Avr - 18:50

Je gagne un foie en bonne santé, non ? ^^ Je plaisante Smile Toujours avec modération !
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